Туб ва мураккаб сонлар, хоссалари. 1-таъриф

а ва B сонларнинг умумий бўлувчилари тўплами Q*, * шу сонлар ЭКУБ нинг бўлувчилари тўплами Ог_л билан устма-уст тушади ва бу сонларнинг ЭКУБ Ев- клид алгоритмид-аги нолдан фарқли энг охирги қол- диққа тенг бўлади. Бу хулосани қисқача қуйидагича ёзиш мумкин: (О_д, * = B_(0> *>) Q ((«■; B)*=г_п).

Сонларнинг энг катта умумий бўлувчиси. Ўзаро туб сонлар

1-таъриф. а ва B бутун сонларнинг иккаласини ҳам бўладиган сон шу сонларнинг умумий бўлувчиси, дейилади.
Биз фақат натурал бўлувчилар бйлангина шуғулла- намиз. Умуман а, B^2 сонлар бир нечта умумий на- турал бўлувчиларга эга бўлиши мумкин. Бу умумий бўлувчилар тўпламини биз О_{а B} орқали белгилайлик. Масалан, а = 24, 6 = 18 бўлсин, у ҳолда Q_{;4 18} = = 11, 2, 3, 6).
2 таъриф. а ва B натурал сонлар умумий бўлув- чиларининг энг каттаси шу сонларнинг энг катта уму- мий бўлувяиси дейилади.
а ва B сонларнинг энг катта умумий бўлувчиси қис- қача ЭКУБ деб ёзилиб, у (а; B) кўринишда белгила- нади.
Агар Евклид алгоритмини ак ва Ьк сонларга татбиқ этсак, 4-§ нинг (1) сисгемасидаги тенгликларнинг ҳар бир ҳади к марта ортади. Шунинг учун
(ак\ ьк) == (а; B к (к £2) (1)
бўлааи. Бундан, қуйидаги хоссалар келиб чиқади:
Г. Агар берилган сонларнинг ҳар бири ўзгармас сонга кўпайтирилса, уларнинг ЭКУБ ҳам Н1у сонга кў- паяди.
2°. Агар а ва B сонларнинг ҳар бири бирор й сон- га бўлинса, уларнинт ЭКУБ ҳам шу сонга бўлинади, яъни
тенглик ўринли бўлади. Исботи. (1) га асосан қуйидагиларни ёза оламиз:
Бунлан !^~\ ~| тенглик келиб чиқади.
Хусусий ҳолда (а; B)=й бўлса, (2) дан | —-—^=1 келиб' чиқади.
те о ре м а. Агар {(а\ с) •= 1 Л (аb/с)\ => B/с, яъна (а: с)=\ бўлиб, аЪ кўпайтма с га бўлинса, у ҳолда B сон с га бўлинади.
Исботи. (а; с) = I нинг иккала қисмини B га кў- пайти.риб, куйидагига эга бўламиз: (ай; Ьс)=B. Теоре- ма шартига кўра аb/с ва Ьс сон с га каррали бўлгани \чун Ьс/с. У ҳолда 1-хосса ва (1) тенгликка асосан (аb\ Ьс)/с. Лекин (аb\ Ьс)=B бўлгани учун B/с.
Биз юқорида, асосан, иккита соннинг ЭКУБ ни топиш билан шуғулландик. Бў тушунчани п та натурал. соннинг ЭКУБ ни топишга ҳам татбиқ этиш мумкин п та а,, а₂ а_п соннинг ЭКУБни (а_и а₂, . . ., а_п) оркали белгилайлик.
теорема. Ихтиёрий а, B, с натурал сонлар учун (а; B, с) = ((а\ B), с) тенглик ўоинли бўлади

Исботи. (а; B) = й_и (д_и с) = й₂, (а; B\ с) = й

белгилашларни киритамиз. Белгилашларга асосан а/й_и B/й_и й^/й^, с/й._г. Булардан а\й_ъ B/й₂, с/й₂ келиб чиқа- ди. Демак, й₂ сон а, B, с сонларнинг умумий бўлув- чиси ва й сон бу сонларнинг энг катта умумий бўлув- чиси бўлгани учун
муносабаг ўринли. Евклид алгоритми натижасига асо- сан й, = ак_х + ЬЬ₂, й₂ = й_ук.₃-\-сЬь бўлади. Бу ерда к^г а = \, 2, 3, 4).
Юқоридаги тенгликлардан
й₂ = к_г(ак_х Ьк₂) ск^ — ак_хк₃ + Ьк₂к₃ + ск_и (4) (6)
тенгликка асосан
муносабат келиб чиқади. (3) ва (5) муносабатлардан й₂=й тенглик келиб чиқади. Демак, (а\ B\ с) — (а\ B)\ с) экан.
Фараз қилайлик п та
а_х, а₂,,.., а_п (6)
натурал сон берилган бўл:ин. Бу сонларнинг ЭКУБ ни топиш учун биз аввало (а_и а₂) = й₂ ни, сўнгра \й₂\ а.₂\=й_г, (й₃\ а₄) = й_и..., (й_п-_Х\ а_п) = й_п ларни топаМИЗ.
У ҳолда Е)_а. а_п — ^Л/,, а₃, а„...,а_п“ . . ~ а_п —= О_йа бўлгани учун (а_и а₂,..., а_п) = й_п бўлади.
1-таъриф. Агар (а_и а₂,... ,а_п) = 1 бўлса, у ҳол- да а_и а_п сонлар ўзаро туб сонлар дейилади.
таъриф. Агар а,, а_г,...,а_п сонларнинг ихтиё- рпй иккитаси ўзаро туб бўлса, у ҳолла улар жуфт- жуфти билан ўзаро туб ёки жуфтлама ўзаро туб сонлар дейилади.
Агар (6) кетма-кетликдаги сонлар жуфт-жуфти би- лан ўзаро туб бўлса, улар ўзаро туб бўлади. Леьин тескариси тўғри эмас. Бу тасдиқнинг тўғрилигини юқо- рида келтирилган мисол тасдиқлайди. Чунки, (3; 4; У)=1, лекин (3;9) = 3.
§. Энг кичик умумий каррали (бўлинувчи)
Ҳар бири нолдан фарқли бўлган а ва B бутун сон- лар берилган бўлсин.
таъриф. а ва B соқларнинг иккаласига бўлина- диган сон шу сонларнинг умумий карралиси (бўли- нувяиси) дейилади.
а ва B сонларнинг умумий карралилари чексиз кўп бўлади.
таъриф. а ва B сонлар умумий карралиларининг энг кичиги шу сонларнинг энг кияик умўмий карра- лиси дейилади.
а ва B сонларнинг энг кичик умумий карралиси қисқача ЭКУК деб ёзилади. а ва B сонларнинг ЭКУК \а; B\ кўринишда белгиланади.
Мисол. Агар а = 12 ва й=*16 бўлса, у ҳолда 112; 16| =48 бўлади.
Энди биз иккита соннинг ЭКУБ ва ЭКУК орпсида- ги боғланишни қарайлик. Фараз қилайлик, т сон а ва B сонларнинг бирор умумий карралиси бўлсин. Уму- мий карралининг таърифига асосан т/а ва т/B. т}а бўлганидан
Бундан ак!B деган хулосага келамиз. (а; B) = й, яъни
а = а_хй, B = B,й ва (а_г; B_{) = 1 бўлади. ак/B >а_л/?с1/B,с1;
а_хкй/Ь_хй=^а_хк\Ь_х, лекин (а_х; £,)=! бўлгани учун к/Ь_х
бўлади. Демак,
(2) ни (1) га қўйсак
ҳосил бўлади. (3) кўринишдаги ҳар бир сон а ва B сон- ларнинг умумий карралиси бўлади.
а ва B сонларнинг ЭКУК ни топиш учун (3) тенг- ликда / = 1 деб олиш кифоя. Демак,
Иккита соннинг ЭКУК қуйидаги хоссаларга эга:
1°. Иккита соннинг ЭКУК шу сонлар кўпайтмасини уларнинг ЭКУБ га бўлган нисбатига тенг.
2°. а ва B сонларга бўлинадиган ҳар бир т сони шу сонларнинг ЭКУК га ҳам бўлинади ((5) га асосан).

сонлар ўзаро тубдир чунки улар

бўлганидан Ь_х ва а, сонлар ўзаро тубдир чунки улар бўлганидан Ь_х ва а,
4°. Ўзаро туб сонларнинг ЭКУК шу сонлар кўпайт-
масига тенг, яъни ((а; 6)=1)=^(|а5 B\-а-B).
5°. Агар /г>0 бўлса, у ҳолда \ак\ Ьк\=к\а\ B\.
6°. Агар а/к ва B(к бўлса, у ҳолда
Иккитадан ортиқ сонларнинг ЭКУК ни топиш маса- ласи иккита соннинг ЭКУК ни топишдаги каби ҳал этилади п та а, а₂, ...,а_п сонларнинг ЭКУК ни |а,; а₂;...';а_л| кўринишда белгилайлик.
Теорема. Ихтиёрий а, B, с натурал сонлар учун [а; B\ с)=[[а; B\; с\ тенглик ўринли бўлади
Исботи. [а; B\ с\=т, |а; B\ = т_и [аг,; с\ = т₂ белгилашларни киритамиз. Белгилашларга асосан, т₂(т_и т₂(с бўлади. Бу муносабатлардан т₂(а, т₂(B, т_г\с му- носабатлар ҳосил бўлади, яъни /л₂ сон а, B, с сонлар- нинг бўлинувчиси бўлади, шунинг учун
муносабат ўринли.
Иккинчидан, т(а, т/B ва т(т_х бўлгани учун
муносабат ўринли. (6) ва (7) муносабатларга асосан т₂ = т бўлади.
Фараз қилайлик
1%; а_;1|=-от₃ \т_п-B а_п]=т_п бўлсин ЭКУК нинг хоссасига асосан я, ва. а₂ га бўлинадиган ҳар бир С0ц уларнннг ЭКУК га ҳам бўлинади. Бошқача айтган- Да а, ва а₂ нинг умумий карралилари шу сонлар ЭКУК ларининг умумий карралилари билан устма-уст туша- ДИ, яъни
бўлгани учун |а,- а₂;...; а„] = т_п бўлади.
Натижа. Жуфтлама ўзаро туб сонларнинг ЭКУК ^ШУ сонлар кўпайтмасига тенг, яъни \а_и а₂,..,,й_л]=» ^а


O’zaro tub sonlar
3-таъриф. Агар (а; B)= 1 бўлса, у ҳолда а ва B натурал сонлар ўзаро туб сонлар дейилади.

Ўзаро туб сонлар қуйидаги хоссаларга эга:

хоссани исботлайлик. Ҳақиқатан, а/B бўлгани учун а = ЬЬ (к£2) тенглик ўринли. У ҳолда а/с дан М/с бўлади (6; с) = 1 бўлгаци учун 2-хоссага асосан к(с, яъни к—с1 (1^2) тенглик ўринли. Демак, а «* = ЬЬ = B(с1) = (Ьс){, яъни а = (Ьс)( бўлиб, бундан а/Ьс муносабатнинг бажарилиши келиб чиқади.

Қолган хоссаларни исбоглашни ўқувчига тавсия қи- ламиз.