Kurs ishi “Diskeret matematika va matematik mantiq” fanidan Mavzu: Funksiyalar sistemasining yopiqligi va to’liqligi

Misol: Quyidagi funksiyalar sistemasining to’liq emasligini isbotlaylik: a) , 1 ; b) xy, x˅y ; v) x+y, ; g) xy˅yz˅xz, ; d) xy˅yz˅xz, 0, 1. a) =x+1 ga teng. Demak, { , 1} sistemadagi funksiyalar bir argumentli funksiyalar bo’ladi. Bizga ma’lumki, bir argumentli funksiyalarning superpozitsiyasi natijasida hosil qilingan funksiya yana bir argumentli funksiya bo’ladi. Natijada, bu sistemadagi funksiyalar orqali ko’p argumentli funksiyalarni ifodalab bo’lmaydi. Shuning uchun { , 1} to’liq sistema emas. b) {xy, x˅y} sistemadagi funksiyalarning ikkalasi ham monotondir. Monoton funksiyalarning superpozitsiyasi orqali hosil qilingan funksiya yana monoton bo’lishini isbot qilgan edik. Demak, bu ikkala funksiyaning superpozitsiyasi orqali monoton bo’lmagan funksiyalarni ifodalash mumkin emas va natijada, {xy, x˅y} sistema to’liqmas sistema bo’ladi. v) {x+y, } sistemadagi funksiyalar chiziqli funksiyalardir. Shuning uchun bu funksiyalar orqali chiziqlimas funksiyalarni ifodalab bo’lmaydi. Demak, {x+y, } funksiyalar sistemasi to’liq emas. g) {xy˅yz˅xz, } sistemdagi funksiyalar o’z-o’ziga ikki taraflama funksiyalardir. Bu funksiyalarning superpozitsiyasidan hosil qilingan har qanday funksiya ham o’z-o’ziga ikki taraflama funksiya bo’ladi. Demak, {xy˅yz˅,0,1} Sistema to`liq emas .
Shunday qilib , yuqorida keltirilgsn masala yechimining analizidan quyidagi xulosa kelib chiqadi.
Berilgan Ф funksiyalar sistemasining to`liq emasligini isbotlash uchun sistemadagi funksiyalarning shunday umumiy xususiyatini toppish kerakki , bu xususiyat funksiyalar superpozitiyasi natijasida saqlansin. Haqiqatan ham , u holda bunday hususiyatga ega bo’magan funksiyani Ф sistemadagi funksiyalar superpozitsiyasi orqali hosil qilib bo’lmaydi.
Xaqiqattan ham,u vaqtdan bunday xususiyatga ega bo`lmagan funksiyani Ф sistemadagi funksiyalar superpozitsiyasi orqali xosil qilib bo`lmaydi.
Funksiyalarning bu ma’lum xususiyatlarini tekshirish uchun odatda funksional yopiq sinflar tushunchasidan foydalaniladi.
2-ta’rif. Agar A sistemadagi funksiyalar superpozitsiyasidan xosil bo’lgan funksiya yana shu sistemaning elementi bo’lsa , u holda bunday sistema superpozitsiyaga nisbatan yopiq sistema deb ataladi.