Kurs ishi “Diskeret matematika va matematik mantiq” fanidan Mavzu: Funksiyalar sistemasining yopiqligi va to’liqligi

3-ta’rif. Agar [ A ] = bo’lsa , u holda A funksiyalar sistemasi to’liq deb ataladi


2. Yopiq sinflar
4-ta’rif. Mantiq algebrasining superpozitsiyasiga nisbatan yopiq bo’lgan har qanday funksiyalar sistemasi funksional yopiq sinf deb ataladi. Ravshanki, ma’lum bir xil xususiyatga ega bo’lgan funksiyalar sistemasi funksional yopiq sinfni tashkil etadi va, aksincha, ma’lum funksional yopiq sinfga kiruvchi funksiyalar bir xil xususiyatga ega bo’lgan funksiyalardir. Quyidagi funksiyalar sistemasi funksional yopiq sinflarga misol bo’la oladi:

1. 
   bir argumentli funksiyalar;
   
2. 
   mantiq algebrasining hamma funksiyalari;
   
3. 
   L - chiziqli funksiyalar;
   
4. 
   S – o’z - o’ziga ikki taraflama funksiyalar;
   
5. 
   M – monoton funksiyalar;
   
6. 
   - nol qiymatni saqlovchi funksiyalar;
   
7. 
   - bir qiymatni saqlovchi funksiyalar;
   

Xususiy va maksimal yopiq sinflar
5-ta’rif. Bo’sh sinfdan va mantiq algebrasining xamma funksiyalari to’plamida farq qiluvchi funksional yopiq sinf xususiy funksional yopiq sinf diyiladi.
Shunday qilib , funksiyalar sistemasining to’liq bo’lishligi uchun bu sistemada har qanday xususiy funksional yopiq sinfga kirmaydigan funksiya topilishi yetarli va zarurdir.
6-ta’rif. O’z-o’zidan va mantiq algebrasining xamma funksiyalar sinfi ( ) dan farq qiluvchi funksional yopiq sinflarga maksimal funksional yopiq sinf deb ataladi.
Mantiq algebrasida hammasi bo’lib beshta maksimal funksional yopiq sif mavjud: – nol saqlovchi funkiyalar sinfi ; – bir saqlovchi funksiyalar sinfi ; M – monoton funksiyala sinfi ; S – o’z – o’ziga ikki taraflama funksiyalar sinfi ; L – chiziqli funksiyalar sinfi ;


3. Post teoremasi va uning natijasi .
Ф={ } funksiyalar sistemasi to’liq bo’lishligi uchun bu sistemada , , M, S, L maksimal funksional yopiq sinflarning xar biriga kirmaydigan kamida bitta funksiya mavjud bo’lishi uchun yetarli va zarur (ya’ni Ф={ sistema , M, S, L maksimal funksional yopiq sinflarning birortasining xam qism to’plami bo’lmaganda va faqat shundagina to’liq Sistema bo’ladi).
Isbot. Ф={ } to’liq sistema bo’lsin , ya’ni [Ф]= . Faraz qilamizki , Ф maksimal funksional yopiq sinflarning birortasi. U vaqtda F ning yopiqligini hisobga olib, [Ф] [F] =F ni yozish mumkin , ya’ni F= . Ammo bunday bo’lishi mumkin emas. Demak , Ф F munosabat bajarilmaydi.
Teoremaning yetarliligi isbotini o’quvchilarga havola etamiz.