Kurs ishi loyixasi

I Issiqlik o’tkazuvchanlik, issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini sonli echish
1.1 Bir o'lchamli issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasini sonli yechish
Masalaning berilishi
Bir o'lchamli nostatsionar issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi quyidagicha:
(1.1)
bunda u = u (x, t) - temperatura, s - birlik massa issiqlik sig'imi, p - zichlik, к - issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti, f - issiqlik manbalari zichligi, ya'ni birlik vaqtda birlik uzunlikdan ajralib chiquvchi issiqlik. Agar с = с (x, t, u), к = к(x, t,u) bo'lsa tenglama kvazichiziqli deb ataladi. Agar s=const, k=const bo'lsa tenglama quyidagicha bo'ladi
(1.2)
bu erda a² - temperatura o'tkazuvchanlik koeffitsienti.
Umumiylikdan ajralmagan holda a = 1 deb hisoblash mumkin, u holda (1.2) dan quyidagini hosil qilamiz
(1.3)
Birinchi chegaraviy masala (I): da uzluksiz
bo'lgan quyidagi masalaning u (x, t) yechimini topamiz

1.2 Olti nuqtali sxemalar oilasi
Quyidagi to'rni kiritamiz

va to'rni

ko rinishda qadamlar bilan kiritamiz, bunda da
aniqlangan bo'lib,y funktsiyaning (x., t.) tugundagi qiymati.
Bir parametrli ayirmali sxemalar oilasini qaraymiz
, (1.4)
Bunda - haqiqiy parametr.
(1.4) sxema ba'zan vaznli sxema deb ataladi.
Chegaraviy va boshlang'ich shartlar quyidagicha aniq approksimatsiyalanadi:
(1.5)
(1.6)
Bunda - (1.3) tenglama o'ng tarafi ni approksimatsiyalovchi funktsiya, masalan

(1.4)-(1.6) ni (II) ayirmali masala deb ataymiz.
(1.4) AS quyidagi olti nuqtali shablonda yozilgan

(1.4) tenglama ichki tugunlar deb ataluvchi ,
tugunlarda echiladi. dagi barcha ichki tugunlar to'plamini
ko'rinishida belgilaymiz.
(1.5), (1.6) boshlang'ich va chegaraviy shartlar ning chegaraviy nuqtalarida yoziladi. to'g'ri chiziqda yotuvchi to'r tugunlari odatda
qatlamlar deb ataladi. (1.4) da qiymatlar ikkita qatlamda yotadi va shuning uchun bunday sxemalar ikki qatlamli sxemalar deb ataladi.
da shablonda aniqlanuvchi to'rt nuqtali
sxemani hosil qilamiz yoki uni quyidagicha yoza olamiz
(1.7)
qatlamning har bir nuqtasidagi qiymat (1.7) formula yordamida qatlamdagi qiymatlar orqali oshkor ko'rinishda ifodalanadi. SHunday qilib t=0 da berilsa, u holda (1.7) formula bo'yicha ketma-ket ixtiyoriy qatlamdagi y ning qiymatlarini aniqlay olamiz. (1.7) sxema oshkor sxema deb ataladi.
Agar bo'lsa, u holda (1.7) sxema oshkormas ikki qatlamli sxema
deb ataladi. da larni aniqlash uchun quyidagi chegaraviy shartlarni
qanoatlantiruvchi

algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:
, (1.8)

(1.8) ayirmali tenglama echimi progonka usuli bilan topiladi.
da sof oshkormas sxemaga ega bo'lamiz
(1.9)
da olti nuqtali simmetrik sxemani hosil qilamiz
, (1.10)
ba'zan bu sxema Krank-Nikol ’son sxemasi deb ataladi.


(1.7) oshkor sxema shabloni (1.9) sof oshkormas
sxema shabloni
(1.8) ikki qatlamii -bshkormas va Krank-NikOf'SOn sxemalari shabloni
1.3 Approksimatsiya aniqligi
(1.4)-(1.6) sxemalar aniqligi haqidagi savolga javob berish uchun (1.4)-
(1.6) masala echimi ni (I) masala echimi u=u(x,t) bilan taqqoslash kerak.
Shunday qilib u(x,t) (I) masalaning uzluksiz yechimi bo'lsin, u holda qo'yamiz va ayirmani qaraymiz.
zj ni baholash uchun quyidagi normalardan birini tanlaymiz

indekssiz belgilashlar yordamida
(1.4)-(1.6) masalani quyidagi ko'rinishda yozamiz
(1.11)
ni (II) ga qo'yib va u ni berilgan funktsiya deb z uchun quyidagi masalani hosil qilamiz

bunda - (1.I) tenglama u(x,t) yechimida (1.11)
sxemaning approksimatsiya xatoligi.
Ta'rif. (II) sxema (I) tenglamani (m,n) tartib bilan approksimatsiyalaydi yoki
(1.I) tenglama u=u(x,t) yechimda approksimatsiyaga ega deyiladi,
agar yoki tengsizliklar barcha
_r lar uchun bajarilsa, M esa h va dan bog'liq bo'lmagan musbat
o'zgarmas, to'rdagi qandaydir norma.
dan x va t bo'yicha kerakli hosilalarni qo'yib, (1.II) ning approksimatsiya tartibini baholaymiz. Quyidagi belgilashlardan foydalanamiz

nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyamiz.
Ushbu formulalarni qo'llab

у ni quyidagicha yozamiz

Yuqoridagi ifodalarni bu erga qo'yib hamda

ifodalardan foydalanib
(1.12)
ni hosil qilamiz.
Bundan korinadiki
bunda faqat
ekanini hisobga olib (1.12) dan quyidagini hosil qilamiz
(1.13)
(1.13) da o'rta qavs ichidagi ifodani nolga tenglab ushbu tenglikka kelamiz
.. (1.14)
qiymatda va esa bo'lganda sxema (II)
approksimatsiyaga ega. Agar biz ifodaga almashtirsak
sxema approksimatsiya tartibi buzilmaydi, ya'ni yoki quyidagiga
kelamiz

(1.15)
- shunday funktsiyalar sinfi bo'lsinki, ularning x bo'yicha m va t
bo'yicha n tartibli hosilalari da uzluksiz bo'lsin. (1.13) va (1.14) formulalardan ko'rinadiki (1.II) sxema quyidagi approksimatsiyalarga ega:
1. yoki da bo'ladi, agar bo'lsa;
2.
3.
- h² -(1.II) sxema a = a va ф = f + —лf da odatdayuqori tartibli aniqlikdagi sxema deb ataladi. ф o'ng tarafni tanlash berilgan a da approksimatsiya tartibiga qo'yilgan talablarga bo'ysungan bo'lishi kerak.
Shunday qilib a = 0,5 da ф ni ф = 0,5( f + f), ф = f deb olish mumkin va
i.k.