Kurs ishi mavzu : lebeg-stiltes o’lchovi va integrali ilmiy rahbari: I. Zaynobiddinov Reja Kirish Asosiy qism Stiltes o`lchovini keltirib chiqaruvchi funksiya Lеbеg Stiltеs o`lchоvi Lеbеg Stiltеs integrali Xulosa Adabiyotlar Matematika

E to’plam bo’yicha Lebeg integrali deyiladi va

deb belgilanadi.

1. 
   Asosiy teoremalar
   

1.Teorema. Faraz qilaylik f(x) sodda funktsiya

, ks)

to’plamda berilgan bo’lsin. Agar E_k to’plamning har biri o’lchovli bo’lsa, u holda f(x) funktsiya E to’plamda o’lchovli bo’ladi.

2.Teorema. O’lchovi nol bo’lgan to’plam bo’yicha ixtiyoriy f(x) funktsiyadan olingan integral noga teng.
3.Teorema O’lchovi nol bo’lgan to’plamdagi integrallanuvchi funktsiyaning o’zgarishi, uning integral qiymatini o’zgartirmaydi.
Teorema. (additivlik xossasi) Faraz qilaylik E to’plam A_k to’plamlarning birlashmasi sifatida tasvirlangan bo’lib A_k larning ixtiyoriy bir jufti kesishmaydigan bo’lsin va {A_k} to’plam soni sanoqli to’plamdan ortiq bo’lmasin. Agar f(x) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’lsa, u holda f(x) har bir A_k to’plamda integrallanuvchi bo’ladi va



shu bilan birga

5.Teorema. Faraz qilaylik E to’plam A_k to’plamlarning birlashmasi sifatida tasvirlangan bo’lib A_k larning ixtiyoriy bir jufti kesishmaydigan bo’lsin va {A_k} to’plam sanoqli to’lamdan ortiq bo’lmasin. Agar f(x) funktsiya har bir A_k to’plamlarda integrallanuvchi bo’lsa va

bo’lsa, u holda f(x) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’ladi.

6.Teorema.(Absolyut uzluksizlik xossasi) Agar f(x) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’lsa, u holda >0,  bo’lib ixtiyoriy eE (e<) uchun

bo’ladi.
7.Teorema.(A.L.Lebeg) Faraz qilaylik {f_n(x)} funktsiyalar ketma-ketligi E to’plamda f(x) funktsiyaga o’lchov bo’yicha yaqinlashsin va E to’plamda integrallanuvchi bo’lgan (x) uchun

tengsizlikni E to’plamda deyarli bajarilsin. U holda f(x) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’ladi va

tenglik o’rinli bo’ladi.

8.Teorema. (B.Levi) Faraz qilaylik {f_n(x)} funktsiyalar ketma-ketligi quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

1. 
   {f_n(x)} ketma-ketlik kamaymadigan (o’smaydigan) bo’lsin;
   
2. 
   E to’plamda f_n(x) funktsiyalar integrallanuvchi bo’lib
   

bo’lsin. U holda

mavjud va f(x) funktsiya E da integrallanuvchi bo’ladi va shu bilan birga

Natija. Agar manfiy bo’lmagan {f_n(x)} funktsiyalar ketma-ketligi uchun E to’plamda

qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda

qator E to’plamda deyarli hamma joyda yaqinlashuvchi bo’ladi va

tenglik bajariladi.

9.Teorema. (P.Fatu) Agar manfiy bo’lmagan {f_n(x)} funktsiyalar ketma-ketligi E to’plamda f(x) funktsiya deyarli yaqinlashuvchi bo’lib E to’plamda f_n(x) funktsiyalar integrallanuvchi bo’lsa va ixtiyoriy n natural son uchun

bo’lsa, u holda f(x) funktsiya E to’plamda integrallanuvchi bo’ladi va

bo’ladi.
10.Teorema. [a,b] kesmada berilgan f(x) funktsiya Riman bo’yicha integrallanuvchi bo’lishi uchun f(x) funktsiya chegaralangan va [a,b] kesmada deyarli hamma joyda uzluksiz bo’lishi zarur va kifoyadir.