Kurs ishi mavzu : lebeg-stiltes o’lchovi va integrali ilmiy rahbari: I. Zaynobiddinov Reja Kirish Asosiy qism Stiltes o`lchovini keltirib chiqaruvchi funksiya Lеbеg Stiltеs o`lchоvi Lеbеg Stiltеs integrali Xulosa Adabiyotlar Matematika

Kurs ishining maqsadi:
Lebeg-stiltes o’lchovi va integrali bilan yaqindan tanishish.
Kurs ishining vazifasi:
Lebeg-stiltes o’lchovi va integralini o`rganish.


Stiltes o`lchovini keltirib chiqaruvchi funksiya
Yuqorida Lebeg o`chovini qaraganimizda , segmentning Lebeg o`lchovi deb uning uzunligini aytgan edik. Lekin segmentni va uning qism to`plamlarini boshqacha usul bilan ham o`lchash mumkun.
Faraz qilaylik, segmentda aniqlangan, chapdan uzluksiz va monoton kamaymaydigan funksiya berilgan bo`lsin. Bu funksiya orqali , segmentning, va yarim intervallarning hamda intervalning o`lchovlarini mos ravishda quyidagicha aniqlaymiz:

(1)


Endi segment berilgan bo`lib, bu segmentning barcha ko`rinishidagi yarim intervallaridan tashkil topgan segmentni orqali belgilaylik. H sistemaning yarim halqa tashkil etishi ravshan. (1) ga asosan har qanday uchun
(2)
tenglikka ega bo`lamiz. H sistemada bu tenglik bilan aniqlangan to`plam funksiyasi o`lchovdir. Haqiqatan, har qanday uchun ekanligi (2) tenglikka asosan funksiyaning monoton kamaymaydiganligidan kelib chiqadi. Endi to`plam funksiyasining additiv funksiya ekanligini ko`rsatamiz.
Faraz qilaylik,

bo`lsin. U holda (2) ga asosan



tenglikka ega bo`lamiz. Demak, sistemada (2) tenglik bilan aniqlangan to`plam funksiyasi o`lchov ekan.
1 – ta`rif. Agar funksiya (2) segmentda aniqlangan chapdan uzluksiz va monotom kamaymaydigan funksiya bo`lib, sistema segmentning barcha ko`rinishidagi yarim intervallar sistemasi bo`lsa, u holda sistemada (2) tenglik bilan aniqlangan to`plam funksiyasi funksiya orqali hosil qilingan Stiltes o`lchovi deyiladi. funksiya Stiltes o`lchovini keltirib chiqaruvchi funksiya deyiladi.
va funksiyalar bir xil Stiltes o`lchovini keltirib chiqaradi. Umuman, (2) o`lchovni keltirib chiqaradigan funksiyalarning umumiy ko`rinishi dan iborat. Haqiqatdan, , funksiyalar (2) o`lchovni keltirib chiqaradigan ixtiyoriy funksiyalar bo`lsin. segmentdan biror nuqtani tayinlab olib, ixtiyoriy nuqtani olamiz. Agar bo`lsa, u holda, (2) tenglikka asosan yarim interval uchun ( va funksiyalar o`lchovini keltirib chiqaradigan funksiyalar bo`lganligi sababli)

bo`lib, bundan

tenglikka ega bo`lamiz. Shunga o`xshash agar bo`lsa, yana (2) tenglikdan yarim interval uchun

bo`lib, bundan yana
(3)
tenglikka kelamiz. ixtiyoriy bo`lgani uchun bundan



tenglik kelib chiqadi. Demak, har bir uchun o`lchovni keltirib chiqaradigan har qanday va funksiyalar orasida ushbu



munosabat o`rinli bo`ladi.
1-teorema: funksiya segmentda kamaymaydigan funksiya bo`lib,
(4)
o`lchov sistemada aniqlangan Stiltes o`lchovi bo`lsin.
(4) o`lchovning o`lchov bo`lishi uchun funksiyaning da chapdan uzliksiz bo`lishi zarur va yetarli.