Kurs ishi mavzu: Aniqmas integrallar

KOMPLEKS QIYMATLI FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH
Ta’rif. Kompleksqiymatlix haqiqiyo’zgaruvchilif(x) funksiyasining boshlang’ich funksiyasideb
F⁰(x) = f(x)
tenglikniqanoatlantiruvchikompleksqiymatliF(x) funksiyagaaytiladi.
1-Tasdiq.Kompleksqiymatlix haqiqiyo’zgaruvchiliF(x) = U(x)+iV (x) funksiyakompleksqiymatlif(x)=u(x)+iv(x)funksiyaningboshlang’ichfunksiyasi bo’lishi uchun U(x) funksiya u(x) ning va V (x) funksiya v(x) ning boshlang’ich funksiyasibo’lishizarurvayetarlidir.
Isbotbevositaboshlang’ichfunksiyata’rifidankelibchiqadi.
Bu holda ham boshlang’ich funksiyaning umumiy ko’rinishi aniqmas integral deyiladivaquyidagichabelgilanadi
f(x) dx = F(x) + C;
bu yerda C = C₁ + iC₂ - ixtiyoriy kompleks o’zgarmas son. Shunday qilib,f,kompleksqiymatlifunksiyaniintegrallashmasalasiikkihaqiqiyfunksiyani,ya’nif funksiyaninghaqiqiyvamavhumqismlariniintegrallashgakelarekan.
Masalan,agar
f(x) = cosx + isinx
_bo’lsa,
f(x) dx = sinx ¡ icosx + C
bo’ladi. Kompleksqiymatlifunksiyauchunboshlang’ichfunksiyatopish jarayoni integrallash deyilib, u xuddi haqiqiy funksiyani integrallash amali ega bo’lganxossalargaegadir.
Misol.Farazqilaylik,a vab haqiqiysonlarbo’lib,c = a + ib bo’lsin.
AgarΦ(x;c) (5.3.3)tenglikbilananiqlanganfunksiyabo’lsa,istalgannaturaln soni uchun

tengliko’rinlibo’ladi. Isbotbevositatenglikdankelibchiqadi.