Kurs ishi mavzu: Aniqmas integrallar

RATSIONAL FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH.
Algebraik polinomlarning xossalari.Ushbu bandda kompleks algebraik polinomlarni,ya’niquyidagiko’rinishdagi
P(z) = a₀zⁿ + a₁z^n¡1 + ::: + a_n¡1z + a_n (5.4.1)
funksiyalarnio’rganamiz,buyerdaa_k -berilgankomplekssonlarbo’lib,z = x+iy esakomplekso’zgaruvchidir.
Agara₀ = 0 bo’lsa,n naturalsonpolinomningdarajasideyiladivaagarbarcha z 2 ClardaP(z) = 0 bo’lsa,polinomaynannolgatengdeyiladi.
Tasdiq.Agarpolinomaynannolgatengbo’lsa,uningbarchakoeffitsiyentlari nolgatengbo’ladi.
Isbot.Quyidagi
a₀zⁿ + a₁z^n¡1 + ::: + a_n¡1z + a_n = 0; z 2 C
ayniyatbajarilsin,debfarazqilaylik.
Agarbutenglikdaz = 0 desak,a_n = 0 hosilbo’ladi.Shundayekan,yuqoridagi ayniyatni
z[a₀z^n¡1 + a₁z^n¡2 + ::: + a_n¡1] = 0; z 2 C
ko’rinishdayozishmumkin. Natijada,z = 0 uchun
a₀z^n¡1 + a₁z^n¡2 + ::: + a_n¡1 = 0 tenglikniolamiz.
Chap tarafdagi funksiya uzluksiz bo’lgani sababli, bu tenglik z = 0 da ham o’rinli bo’ladi, ya’ni, bundan chiqdi, tenglik barcha z 2 Clarda bajariladi.
Hosil bo’lganayniyatdaz = 0 desak,a_n¡1 = 0 ni olamiz. Bu jarayonni davom ettirsak, P polinomni barcha koeffitsientlarining nolga tengligi kelib chiqadi.
Tasdiq.Agar ikki polinom bir-biriga aynan teng bo’lsa, u holda ular birxilkoeffitsiyentlargaegadir.
UshbutasdiqyuqoridagiTasdiqningnatijasidir.Haqiqatan,bupolinomlarning ayirmasiaynannolgatengbo’lib,natijadaayirmaningbarchakoeffitsientlarinoldan iboratbo’ladi.
Harqandaymusbatdarajalipolinomnidarajasikichikroqbo’lganixtiyoriypolinomga bo’lish haqidagi navbatdagi tasdiq algebraic polinomlar nazariyasida muhim axamiyatga egadir.
Tasdiq.Agar P(z) darajasi n ‚ 1 bo’lgan ixtiyoriy polinom bo’lsa, u Holda darajasi m • n bo’lganistalganH(z) polinomuchundarajasin ¡ m bo’lgan
shundayQ(z) vadarajasim dankichikbo’lganshundayR(z) polinomlar topiladiki, ular uchun
P(z) = H(z) ¢ Q(z) + R(z)
tengliko’rinlibo’ladi.
Yuqoridagi polinomlar uchun o’rnatilgan atamalardan foydalaniladi, ya’ni P -bo’linuvchi,H -bo’luvchi,Q -nisbat,R -qoldiqdebataladi.
3-Tasdiq¾burchak¿usulibilanbo’lishorqaliisbotlanadi.
1-Misol.Agar
P(z) = z⁵ + 3z³ + 4z² + 5z + 6; H(z) = z² + 1 polinomlarberilganbo’lsa,
P(z) = (z² + 1)(z³ + 2z + 4) + (3z + 2) debyozishmumkin,ya’nibelgilashlarda