Kurs ishi mavzu: “Integral tengsizliklar. O’rta qiymat haqidagi teoremalar ” Bajardi: Ilmiy rahbar: Jizzax 2022- yil Mundarija Kirish I bob: Aniq integrallarning xossalari

I BOB: Aniq integrallarning xossalari

1. 
   Integral tengsizliklar.
   

<sup>2













3
4</sup>







II BOB Integrallanuvchi funksiyalar sinfi

2 .1. Uzluksiz⁵ funksiyalarning integrallanuvchanligi.

<sup>6



7</sup>
2.2 . Uziladigan funksiyalarning integrallanuvchanligi
5–teorema.⁸ Agar f (x) funksiya a,b oraliqda chegaralangan va bu oraliqning chekli sondagi nuqtalarida uzulishga ega bo’lib, qolgan barcha nuqtalarida uzluksiz bo’lsa , funksiya shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi. ◄ f (x) funksiya a,b da chegaralangan bo’lib, shu oraliqning faqat bitta x ( x a,b)   nuqtasida uzilishga ega, qolgan barcha nuqtalarida uzluksiz bo’lsin.   0 son olib,  x nuqtaning            U (x ) x :x R, x x x atrofini tuzamiz. Bu atrof a,b oraliqni U (x ), a,b\U (x ) [a, x  ] [x ,b]           qismlarga ajratadi. Shartga ko’ra, f (x) funksiya [ ,  ]  a x va [x  ,b]  oraliqninghar birida uzluksiz. Bu oraliqlarning har biriga alohida Kantor teoremasining⁹ natijasini (5-bobdagi 3- natijani qarang) qo’llaymiz. U holda olingan   0 son uchun shunday  1  0 va  2  0 sonlar topiladiki, [ , ]  a x da  k   1 x dan   , k [x  ,b]  da  k   2 x dan    k tengsizliklar o’rinli ekani kelib chiqadi. Agar  min 1 , 2  deb olsak , u holda ikkala oraliq uchun bir vaqtda xk   dan    k tengsizliklar o’rinli ekani kelib chiqadi. Endi yuqoridagi   0 songa ko’ra   0 sonni    deb olaylik. a,b oraliqni diametri  P   bo’lgan bo’laklashlari uchun f (x) funksiyaning Darbu yig’indilarini tuzib, quyidagi ayirmani qaraymiz. (9.6) yig’indining har bir hadida  1 , k k x x ( k  0,1,,n 1) oraliqning uzunligi k x qatnashadi. Bu  1 , k k x x oraliqlarni  x nuqtaning ( )  U x  atrofidan tashqarida joylashganiga, ya’ni xk ,xk1 (x,)0*U munosabat o’rinli bo’ladiganiga mos keladigan (9.6) yig’indining hadlaridan tuzilgan yig’indi   k k k  x ' bo’lsin
XULOSA
Aniq integral ta’rifida integrallash sohasi chekli kesma va integral ostidagi funksiya chegaralangan deb qaralgan edi. Ammo bir qator masalalarni yechishda bu shartlardan kamida bittasi bajarilmaydigan vaziyatlar paydo bo‘ladi. Misol sifatida cheksiz geometrik shakllarning yuzasini hisoblash masalasini ko‘rsatish mumkin. Bunday hollarda xosmas integrallar tushunchasidan foydalaniladi. Ular ma’lum bir aniq integral qiymatlarining u yoki bu holdagi limiti kabi aniqlanadi. Bu limit mavjud va chekli bo‘lsa, xosmas¹⁰ integral yaqinlashuvchi, aks holda esa uzoqlashuvchi deyiladi.
Integrallash sohasining kamida bitta chegarasi cheksiz bo‘lgan holda I tur xosmas integral tushunchasiga kelamiz. Agar integral ostidagi funksiya chegaralanmagan bo‘lsa, unda II tur xosmas integralga ega bo‘lamiz. Chegaralaridan kamida bittasi cheksiz va integral ostidagi funksiya chegaralanmagan bo‘lgan xosmas integrallar aralash turli deb ataladi.