Kurs ishi mavzu: Tenglamalarni kvadrat radikallarda yechish bajardi

Uchinchi darajali tenglamalarning kvadrat radikallarda yechilish sharti.
Teorema. Ushbu
(2)
ratsional koeffitsiyentli uchinchi darajali tenglama kvadrat radikalda yechilishi uchun uning kamida bitta ildizi ratsional son bo’lishi zarur va yetarli.
Isboti. 1. Yetarlilik sharti. ko’phad d ratsional ildizga ega bo’lsin. u holda uni quyidagicha yozamiz: , bunda .

yoki
munosabatlar o’rinli bo’lgani uchun (1) tenglama kvadrat radikalda yechiladi.
2. Zaruriylik sharti. (1) tenglama kvadrat radikalda yechilsin va uning ratsional ildizi yo’q deb faraz qilaylik. Shunday
(2)
kvadrat kengaytmalar zanjiri mavjudki, u holda (1) tenglamaning ildizlaridan kamida bittasi ga tegishli bo’ladi. Masalan,
(3)
va ildizlaridan hech biri ga tegishli emas, ya’ni
(4)
bo’lsin deb faraz qilaylik.
maydon maydonning kvadratik kengaytmasi bo’lganligi uchun shunday element mavjudki, natijada
(5)
munosabat bajariladi. (3) va (5)ga asosan,
(6)
bo’ladi.
Endi ifoda f(x) ko’phadning ildizi ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatdan ham,
(7)
bunda
(8)
va bo’lganligi sababli
(9)
tenglikdan
(10)
kelib chiqadi. (7), (8), (9) va ga ko’ra tenglik kelib chiqadi. Demak, ham f(x) ning ildizi ekan. bo’lsin. (6) munosabatga asosan bo’lgani uchun .
Viyet formulasiga asosan (6) ga asosan Bu esa (4) farazga qarama-qarshi. Demak, f(x) ko’phad ratsional ildizga ega ekan.
5-§.Tenglamalarni taqribiy yechish
bo’lsin, (1)
tenglamani taqribiy yechish deyilganda uning noma’lum ildizi yotgan oraliqni oldindan tayinlangan dan oshmaydigan kattalikda (qisqacha: gacha aniqlikda) toppish tushuniladi. da yotgan ixtiyoriy c nuqta ildizning taqribiy qiymati sifatida olinishi mumkin: . P(x) ko’phad grafigi absissalar o’qini nuqtada kesib o’tishi tufayli unda P( )=0, nuqtaning ikki tomonida esa ko’phad qarama-qarshi ishoraga ega bo’ladi. Bunga qaraganda agar P(x) ko’phad oraliqning chekka nuqtalarida xar hil ishoraga ega bo’lsa, ya’ni (2) tengsizlik bajarilsa, shu oraliqda (1) tenglama ildizga ega bo’ladi.
Demak, hisoblashlarning 1-qadamida (2) shartdan foydalanib, ildiz yotgan oraliqni topiladi. Keyingi qadamlarda biror usul qo’llanilib, bu oraliq ketma-ket kiy=chraytiriladi. Agar biror k –qadamda aniqlikka erishilgan bo’lsa, oraliqdagi ixtiyoriy son masalan, o’rta qiymat ildiz uchun qabul qilinadi va hisoblashlar to’xtatiladi. Tenglamalarni taqribiy yechishning ikkita usuli bilan tanishamiz:
1)kesmani teng ikkiga bo’lish(dixotomiya) usuli qo’llanilganda oraliq , nuqta bilan teng oraliqlarga ajratiladi. Ulardan (2) shart bajariladigani, demak, ildiz mavjud bo’lgani olinadi. Uni orqali belgilaymiz. Uning uzunligi . Agar bo’lsa masala hal, aks holda oraliq yana ikkiga bo’linadi va h.k.
2)Endi Jamshid ibn Ma’sud G’iyosiddin al-Koshiyning taqribiy qiymatlarni ildizga ketma-ket yaqinlashtirishlar (iterizatsiya) usulini keltiraniz. Al-Koshiy ko’rinishidagi tenglamani yechish usuli uni teng kuchli
(3)
ko’rinishga keltiradi. ya’ni bo’lganidan, (3) tenglik
(4)
ko’rinishga keladi. 1-yaqinlashish uchun qabul qilinadi. (4) tenglikning o’ng qismiga qo’yiladi, bo’yicha topiladi. Natijada
(5)
Ikkinchi yaqinlashish: va h.k. Amalda bir r qoldiqlarni hisoblab o’tirmay, Al-Koshiy usulining ushbu nisbatan soda modifikatsiyasidan (ko’rinishi o’zgartirilgan rekkurent formuladan) foydalanamiz:
(6)
Bu formulalar bo’yicha topilgan har qaysi yaqinlashish xatosi (ya’ni uning izlanilayotgan ildizdan farqi) bo’ladi va bo’lganidan xato qiymati keying qatorlarda kamayib boradi.