Kurs ishining dolzarbligi


-§. Bir o`zgaruvchili funksiya uchun bir tomonlama va x → ∞ dagi limitlar


Download 483.85 Kb.
bet6/13
Sana23.04.2023
Hajmi483.85 Kb.
#1388505
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
Bog'liq
sobirova04.21bir necha

3-§. Bir o`zgaruvchili funksiya uchun bir tomonlama va x → ∞ dagi limitlar.
Bir o`zgaruvchili y = (x) funksiya biror V = (a; ∞) nurda aniqlangan bo`lsin (2-rasm). Har qanday ε > 0 son uchun shunday K > 0 sonni ko`rsatish mumkin bo`lsaki, barcha | x | > K munosabatni qanoatlanti-ruvchi x  lar uchun |(x) – b | < ε tengsizlik o`rinli bo`lsa, b soni (x) funksiyaning x → ∞ dagi limiti deyiladi.

4 – rasm.


y = (x) funksiyaning x → - ∞ dagi limiti ham yuqoridagidek ta`riflanadi.


Masalan, 1) , chunki x → + ∞ da → 0;
2) , chunki x → - ∞ da → + ∞ ;
3) .
Bir o`zgaruvchili y = (x) funksiya x < x0  da aniqlangan bo`lib, x0 nuqta aniqlanish sohasining quyuqlanish nuqtasi bo`lsin (3–rasm).
Har qanday ε > 0 son uchun δ1 > 0 sonni ko`rsatish mumkin bo`l-saki, x0–δ1< x < x0 shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun |(x) –b1| < ε tengsizlik bajarilsa, b1 = (x0–0) son (x) funksiyaning x→x0 da chapdan limiti deyiladi va ko`rinishda yoziladi.
y = (x) funksiyaning x → x0  da o`ngdan limiti ham shunga o`xshash aniqlanadi va ko`rinishda yoziladi (5– rasm ).

5-rasm.
Masalan, 1) ; 2) .


y = f (x) funksiyaning x0 nuqtada limiti, funksiya shu nuqtada chapdan va o`ngdan limitlarga ega bo`lib, f (x0–0) = f (x0+0) tenglik bajarilganda, mavjud bo`ladi.
3. Limitlar haqida asosiy teoremalar. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar.
Limitlar haqidagi asosiy teoremalar quyidagilardan iborat:
1. Agar y = (M) = C  (C – o`zgarmas) bo`lsa, u holda .

2.  mavjud bo`lsa, u holda ixtiyoriy k son uchun



3. Agar va mavjud bo`lsa,


a)  ham mavjud bo`ladi va


.

b) mavjud bo`ladi va



c) o`rinli bo`lganda, ham mavjud bo`ladi va .


d) M0 nuqtaning biror atrofida (M) ≤ g(M) munosabat bajarilsa, u holda tengsizlik ham o`rinli bo`ladi.
Limitlar haqidagi teoremalar bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya li-mitlarini hisoblashda qo`llaniladi.

Masalan,


.
Agar bo`lsa, α(M) funksiya M → M0 da cheksiz kichik funksiya deyiladi.
Xususan, agar bo`lsa, bir o`zgaruvchili α(x) funksiya x → x0 da cheksiz kichik deb ataladi.
Masalan, funksiya x → -1 va x → ∞ larda cheksiz kichik funksiyadir.
Cheksiz kichik funksiya o`zining quyidagi xossalariga ega:
1) M → M0 da α(M) cheksiz kichik funksiya bo`lib, (M) = b + α(M) bo`lganda, mavjud va aynan b ga tengdir;
2) chekli sondagi va har biri M → M0 da cheksiz kichik funksiyalarning yig`indisi yoki ko`paytmasi cheksiz kichik funksiyalardir.
3) M → M0 da cheksiz kichik funksiyaning, M0 nuqtaning biror atrofida chegaralangan funksiyaga ko`paytmasi, cheksiz kichik funksiyadir.
Agar (yoki - ∞) bo`lsa, γ(M) funksiya M → M0 da cheksiz katta funksiya deyiladi.
Xususan, agar (yoki - ∞) bo`lsa, γ(x) funksiya x → x0 da cheksiz katta bir o`zgaruvchili funksiya deb ataladi.
Masalan, funksiya x → 0 da cheksiz kattadir.
4. Ekvivalent cheksiz kichik funksiyalar. Funksiyalarni taqqos-lash.
Bir o`zgaruvchili (x) va g(x) funksiyalar berilgan bo`lib, x ≠ x0 da (x) ≠ 0, g(x) ≠ 0 va mavjud bo`lsin. U holda, quyidagi h hollarning biri o`rinli bo`ladi:
a) Agar ≠ 0 va ≠ ∞ bo`lsa, (x)  va  g(x) funksiyalar x → x0 da teng tartibli funksiyalar deyilib, (x) = 0*(g(x)) ko`rinishda yoziladi;

S
b) Agar = 1 bo`lsa, (x)  va g(x) funksiyalar x → x0 da ekvivalent yoki teng kuchli deyilib, (x) g(x) yozuvda ifodalanadi;
c) Agar = 0 bo`lsa, (x) funksiya x → x0 da g(x) funksiyaga nisbatan yuqori tartibli kichik deyiladi va (x) = o(g(x)) yozuvda yoziladi;
d) Agarda = ∞ bo`lsa, unda g(x) = o(f (x)).
Masalan: 1. x → 0 da tg(2x) = 0*(5x), chunki .
2. x → 0 da x= o(x2), chunki .
3. x → ∞ da x2 = o(x3), chunki .

S
4. x → 0 da tg 2x sin 2x, chunki .
Agar x → x0 da α(x) funksiya cheksiz kichik bo`lsa, quyidagi teng kuchliliklar (ekvivalentliklar) o`rinli:

S

S

S
1. sin α(x) α(x); 2. tg α(x) α(x); 3. arcsin α(x) α(x).

S

S
4. arctg α(x) α(x); 5. loga [1 + α(x)] α(x) logae.

S

S

S
6. ln[1 + α(x)] α(x); 7. 1 – cos α(x) .

S

S
8. aα(x) - 1 α(x) lna; 9. eα(x) - 1 α(x).

S

S
10. [1 + α(x)]- 1 n α(x); 11.  .
Yuqorida keltirilgan ekvivalentliklardan funksiyalar limitini hisob-lashda foydalanish maqsadga muvofiq.

Masalan, .



Download 483.85 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling