Курс лекций по дисциплине «Компьютерное моделирование». Рассмотрены основные понятия курса, этапы построения

 
 5.2. 
Метод Монте-Карло 
Создателями метода статистических испытаний (метода Монте-Карло) 
считают американских математиков Д. Неймана и С. Улама. В 1944 г., в 
связи с работами по созданию атомной бомбы, Нейман предложил широко 
использовать аппарат теории вероятностей для решения прикладных задач 
с помощью ЭВМ. Данный метод был назван так в честь города в округе 
Монако, из-за рулетки, простейшего генератора случайных чисел. 
Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для 
решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы 
оказались малопригодными. Далее его влияние распространилось на 
широкий класс задач статистической физики, очень разных по своему 
содержанию. К разделам науки, где все в большей мере используется метод 
Монте-Карло, следует отнести задачи теории массового обслуживания, 
задачи теории игр и математической экономики, задачи теории передачи 
сообщений при наличии помех и ряд других. 
40 

---

Метод Монте-Карло (или метод статистических испытаний) можно 
определить, как 
метод моделирования случайных величин с целью 
вычисления характеристик их распределений. Суть состоит в том, что 
результат испытаний зависит от некоторой случайной величины, 
распределенной по заданному закону. Поэтому результат каждого 
отдельного испытания носит случайный характер. Как правило, 
составляется программа для осуществления одного случайного испытания. 
Проведя серию испытаний, получают 
выборку. Полученные статистические 
данные обрабатываются и представляются в виде численных оценок 
интересующих исследователя величин (характеристик системы). 
Испытание повторяется N раз, причем каждый опыт не зависит от 
остальных, и результаты всех опытов усредняются. Это значит, что число 
испытаний должно быть достаточно велико, поэтому метод существенно 
опирается на возможности компьютера. 
Теоретической основой метода Монте-Карло являются предельные 
теоремы теории вероятностей. Они гарантируют высокое качество 
статистических оценок при весьма большом числе испытаний. Метод 
статистических испытаний применим для исследования как стохастических, 
так и детерминированных систем. Практическая реализация метода Монте-
Карло невозможна без использования компьютера. 
Проиллюстрируем метод Монте-Карло. 
Пусть требуется определить площадь круга известного диаметра с 
помощью выборок из значений случайной величины. Впишем круг в квадрат; 
таким образом, стороны квадрата будут равны диаметру круга. Разобьем далее 
квадрат на единичные квадраты (каждый площадью 1). Разумеется, можно 
найти площадь круга подсчетом числа единичных квадратов (или их частей), 
попавших внутрь круга. Однако наша цель состоит в использовании выборок, 
поскольку при моделировании информацию можно получать лишь таким 
41 

---

образом. Чтобы объяснить, как это делается, рассмотрим конкретный 
численный пример. 
Пусть круг имеет радиус r=5 см и его центр в точке (1; 2). Уравнение 
окружности будет иметь вид: 
(
х – 1)
2
+ (
у – 2)
2
= 25. 
Квадрат определяется его вершинами (–4; –3), (6; –3), (–4; 7) и (6; 7). 
Любая точка (x,у) внутри квадрата или на его границе должна удовлетворять 
неравенствам –4 ≤ х ≤ 6 и –3 ≤ y ≤ 7. 
Применение выборок при использовании метода Монте-Карло основано 
на предположении, что все точки в квадрате могут появляться с одинаковой 
вероятностью, т.е. х и у распределены равномерно с плотностями вероятности 



≤
≤
=
случае;
противном
в
0
6,
x
4
-
при
,
10
/
1
)
(x
f



≤
≤
=
случае.
противном
в
0
7,
x
3
-
при
,
10
/
1
)
( y
f
Подсчитаем число точек, попавших внутрь круга или на окружность. 
Предположим, что выборка состоит из n наблюдений и m из n точек попали 
внутрь круга или на окружность. Тогда S 
круга
= m/n , S 
квадрата
= m/n 
(10х10) = 
100 m/n. 
Подобный способ оценивания площади круга можно обосновать тем, что 
в процессе получения выборки любая точка (х, у) может с одинаковой 
вероятностью попасть в любое место квадрата. Поэтому отношение m/n 
представляет оценку площади круга относительно площади квадрата. 
В целях изучения влияния статистической ошибки при моделировании 
задача решалась для различных значений п, равных 100, 200, 500, 1000, 2000, 
5000 и 10000. Кроме того, при каждом n было проведено 10 прогонов, в 
каждом из которых использовались различные последовательности 
случайных чисел из интервала (0,1). 
42 

---

Таблица 5.1. Таблица оценка площади круга