Курс лекций по высшей математике: Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Степенной ряд сходимость: пример решения

Ряды математика

Сходимость функционального ряда

Знакочередующиеся ряды

В предыдущем параграфе мы рассмотрели ряд

Там мы установили, что в полуинтервале  этот ряд сходится, но не является равномерно сходящимся.
В этом примере обратим внимание на то, что в полуинтервале  члены ряда непрерывны, а сумма ряда

разрывна.
Следовательно, для рядов из непрерывности членов еще не вытекает непрерывность суммы, как это имеет место для конечных сумм.
Следующая теорема показывает, что равномерная сходимость ряда при непрерывности его членов является достаточным условием непрерывности суммы ряда.
Теорема. Если на множестве  функциональный ряд

сходится равномерно, а члены ряда непрерывны, то сумма ряда непрерывна на множестве 
Доказательство.  Пусть принадлежит множеству  Возьмем произвольное  Так как по условию ряд (1) на множестве  сходится равномерно, то существует такой номер  что для остаточного члена ряда (1) будет верно неравенство

для всех как только будет 
Возьмем  и сумму  представим в виде

Отсюда имеем:

Так как непрерывна в точке как конечная сумма непрерывных функций, то существует такое  что для всех 
верно неравенство
Кроме того, в силу выбора  имеем:

Следовательно,

для всех удовлетворяющих неравенству

что и доказывает непрерывность суммы  данного ряда в произвольной точке 
Таким образом, в вопросе о непрерывности суммы равномерно сходящийся ряд не отличается от конечных сумм, чего нельзя сказать о каждом функциональном ряде, как это видно из рассмотренного выше примера.
Интегрирование функциональных рядов
В интегральном исчислении доказывается, что сумма конечного числа интегрируемых функций (в частности, непрерывных функций) интегрируема и интеграл от суммы равен сумме интегралов от слагаемых. Это утверждение не распространяется на произвольные сходящиеся ряды.
Следующая теорема дает достаточные условия, когда интеграл от суммы ряда существует и может быть вычислен путем почленного интегрирования ряда, т. е. таким же путем, как и в случае конечных сумм.
Теорема. Если на отрезке  функциональный ряд

сходится равномерно и члены ряда непрерывны, то на этом отрезке сумма ряда интегрируема и интеграл от суммы может быть получен почленным интегрированием данного ряда: