Курсовая работа по дисциплине «Алгебра и теория чисел»

Практическая часть.
Исследование формы поверхности методом сечений плоскостями, построение линий, полученных в сечениях
Наша поверхность второго порядка задана уравнением:

Пусть декартовая прямоугольная система координат получена заменой оси y на ось z в системе координат Oxyz:

Тогда данное уравнение примет вид:

Данное каноническое уравнение поверхности задает однополостный гиперболоид. Очевидно, что оси O'X, O'Y и O'Z являются осями симметрии однополостного гиперболоида, начало координат – его центр симметрии.
Рассмотрим линии , полученные в сечениях однополостного гиперболоида плоскостями Z' = h (h = const). Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, - уравнение проекций линий на плоскость XO'Y. Запишем полученное уравнение в виде:


где h – любое вещественное число.
Это уравнения эллипсов с полуосями:

увеличивающимися с увеличением , с центрами на оси O'Z в точках и осями параллельными, соответственно, осям O'X и O'Y .
Плоскость X'O'Y (h = 0) пересекает однополостный гиперболоид по эллипсу,

называемому горловым эллипсом.
Из выражений для полуосей a,b следует, что горловой эллипс является наименьшим. При различных значениях h получим семейство соответствующих эллипсов:


Рассмотрим линии , полученные в сечениях однополостного гиперболоида плоскостями X = h (h = const). Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, - уравнение проекций линий на плоскость Y'O'Z'. Запишем полученное уравнение в виде:

или

Если , то уравнение задает уравнения гипербол, лежащих в плоскостях X' = h, с центрами в точках . Действительные оси гипербол параллельны оси O'Y, мнимые - O'Z'.
Полуоси гипербол:
действительная полуось,-
- мнимая полуось,
принимают наибольшие значения при h = 0 и уменьшаются с увеличением .
При различных значениях h получим семейство соответствующих гипербол .

Если , то из получим уравнение или

Уравнение – это уравнения двух пересекающихся прямых в плоскостях и , соответственно.
Если , то уравнение примет вид:

Уравнения – это уравнения сопряженных гипербол с центрами в точках . Действительные оси гипербол параллельны оси O'Z', мнимые - O''Y.
Полуоси этих гипербол:
- действительная,
- мнимая,
увеличиваются с увеличением .
При различных значениях получим семейство соответствующих гипербол


Рассмотрим линии , полученные в сечениях однополостного гиперболоида плоскостями . Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, - уравнения проекций линий на плоскость XO'Z . Запишем полученное уравнение в виде:

или

Если , то уравнение задает уравнения гипербол, лежащих в плоскостях Y' = h, с центрами в точках . Действительные оси гипербол параллельны оси O'X', мнимые – оси O'Z'.
Полуоси этих гипербол:
- действительная,
- мнимая,
увеличиваются с уменьшением .
Если , то из получим уравнение:

или

Уравнения (11) – это уравнения двух пересекающихся прямых в плоскостях и , соответственно.
Если , то уравнение примет вид:

Уравнения – это уравнения сопряженных гипербол с центрами в точках . Действительные оси гипербол параллельны оси O'Z', мнимые – оси O'X'.
Полуоси этих гипербол:
- действительная,
- мнимая,
увеличиваются с увеличением .