Курсовая работа по дисциплине «Геометрия»

Задача 1. Доказать, что четырехугольник АВСD – параллелограмм, если заданы координаты его вершин: А(2;3), В(4;4), С(8;4), D(6;1). [1]
Решение. Точки А, В, С, D не лежат на одной прямой. Рассмотрим векторы и . Вычислим их координаты , . Координаты векторов одинаковы, поэтому . Из равенства векторов следует, что и , т.е. у четырехугольника ABCD две противолежащие стороны равны и параллельны, следовательно, он – параллелограмм.
Задача 2. Даны три точки: А(1;1), В(-1;0), С(0;1). Найдите такую точку D(x;у), чтобы векторы и были равны. [4]
Решение. Вектор имеет координаты –2, -1. Вектор имеет координаты х-0, у-1. Так как = , то х-0=-2, у-1=-1. Отсюда находим координаты точки D: х=-2, у=0.
Задача 3. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А(1;1), В(3;4), С(8;5). Найти координаты четвертой вершины D и точку пересечения диагоналей. [1]
Решение. Точка пересечения диагоналей – середина каждой из диагоналей. Поэтому она является серединой отрезка АС и имеет координаты:
; .
Так как точка пересечения диагоналей является серединой отрезка BD, можно найти координаты четвертой вершины D:
; .
Отсюда х=6, у=2, т.е. D(6;2).

§5 Сложение и вычитание векторов

2. Суммой векторов и с координатами а₁, а₂ и b₁, b₂ называется вектор с координатами а₁+b₁, a₂+b₂, т.е.

.
Для любых векторов , , имеют место следующие свойства:
1) (коммутативность);
2) (ассоциативность);
3) .
Для доказательства достаточно срав­нить соответствующие координаты векторов, стоящих в правой и левой частях равенств. Мы видим, что они равны. А векторы с соответственно равными координатами рав­ны.
Теорема. Каковы бы ни были точки А, В, С имеет место векторное равенство .
Доказательство. Пусть , , - данные точки (см. рисунок 5). Вектор имеет координаты , , вектор имеет координаты , . Следовательно, вектор имеет координаты , . А это есть координаты вектора . Значит, векторы и равны. Теорема доказана.
Д

оказанная теорема дает воз­мож­ность следующего графического пос­трое­ния суммы произвольных векторов и . Надо от конца вектора отложить вектор равный вектору . Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , будет суммой векторов и (см. рисунок 6). Такой способ на­зы­ва­ет­ся "правилом треугольника" сложения векторов.
Д ля двух векторов с общим началом сумма может также изо­бражаться диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. Такой метод построения на­зывается "пра­ви­лом параллело­грамма". Действительно, , а . Значит, (см. рисунок 7).
Разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор : . Отсюда находим координаты вектора : , . Очевидно, что вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и . Началом его является конец вычитаемого вектора , концом – конец уменьшаемого вектора (см. рисунок 7).