Курсовая работа по дисциплине «Геометрия»

Решение. Согласно одного из свойств скалярного произведения векторов , . Следо­ва­тельно, .
Задача 2. Вычислить косинусы углов А и В треугольника АВС, вершины которого имеют следующие координаты: А(1;6), В(1;1), С(4;1). [1]
Решение. Согласно определению скалярного произведения векторов и , , найдем .
Вычислим координаты векторов и : , , ; .
Затем вычислим координаты векторов и : (0;5), (3;0), . Следовательно, ^ , и .
Задача 3. В точках М₁(х₁;у₁), М₂(х₂;у₂) сосредоточены массы, соответ­ственно равные m₁ и m₂. Найти координаты центра тяжести системы этих
масс. [1]
Решение. Известно, что центр масс С лежит на отрезке М₁М₂ и удален от точек М₁ и М₂ на расстояние, обратно пропорциональные массам m₁ и m₂, т.е. точка С, являющаяся центром тяжести системы двух материальных точек, делит отрезок М₁М₂ в отношении . Используя формулы для нахождения координат середины отрезка ; и подставляя в них значение , после преобразований находим координаты точки С:
; .
Задача 4. Пусть О – центр описанной окружности треугольника АВС, а точка Н обладает тем свойством, что . Докажите, что Н – точка пересечения высот треугольника АВС. [5]
Решение. Докажем что .
и , поэтому , так как О – центр описанной окруж­нос­ти. Аналогично доказывается, что и .