Курсовая работа по дисциплине «Математический анализ»
Download 1.03 Mb.
|
8.Понятов Кирилл-Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов
- Bu sahifa navigatsiya:
- КУРСОВАЯ РАБОТА
- «ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
- Введение……………………………………………………………………. 3
- Заключение ……………………………………………………………….. 33
- §1. Криволинейный интеграл первого рода
|
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И ИННОВАЦИЙ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН НУКУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени АЖИНИЯЗА Заочное отделение
Нукус – 2023 Содержание
Введение Математика является точной абстрактной наукой, изучающей количественные соотношения и пространственные формы. Точность математики означает, что основным методом в математических исследованиях являются логические рассуждения, а результаты исследований формулируются в строгой логической форме. Абстрактность же математики означает, что объектами ее изучения являются модели (математические). В этих моделях математика изучает соотношения между их элементами, количественные и качественные связи между ними, их форму. Одна и та же математическая модель может описывать с определенным приближением свойства очень далеких друг от друга по своему конкретному содержанию реальных явлений. Математика неустанно продолжает развиваться, в ней создаются новые методы, появляются новые разделы. Развитие математики в целом определяет уровень ее использования и оказывает существенное влияние на развитие других наук и техники. В свою очередь, задачи практики, прогресс других фундаментальных и прикладных наук приводят к созданию новых направлений математики, стимулируют ту или иную направленность математических исследований, расширяют возможность применения математических методов. В данной работе будет рассмотрено применение криволинейных интегралов в различных областях наук, в частности физики, механики и т.д. §1. Криволинейный интеграл первого рода Для того чтобы естественным путем прийти к определению криволинейного интеграла, рассмотрим одну механическую задачу, которая к нему приводит. Пусть на плоскости дана непрерывная простая спрямляемая кривая (К), вдоль которой расположены массы, причем известна их линейная плотность во всех точках M кривой. Требуется определить массу всей кривой (К). криволинейный интеграл магнитный поле Рис. 1 С этой целью между концами кривой вставим произвольно ряд точек для симметрии обозначений отождествляются с ). Эти точки пронумерованы в направлении от , хотя ничто не мешает перенумеровать их и в обратном направлении. Взяв какую-нибудь точку на дуге кривой, вычислим плотность в этой точке. Приближенно считая, что такова же плотность во всех точках этого участка, и обозначая длину дуги через , для массы этой дуги будем иметь приближенное выражение а для всей искомой массы - выражение Погрешность этого последнего, связанная с сделанным выше приближенным допущением, будет стремиться к нулю, если длины всех участков стремятся к нулю. Таким образом, обозначая через наибольшую из длин для получения точной формулы остается лишь перейти к пределу: . Станем же изучать вообще пределы этого рода и, отвлекаясь от рассмотренной задачи, возьмем произвольную «функцию точки» заданную вдоль непрерывной простой спрямляемой кривой , и повторим указанный процесс: разбив кривую ) на элементарные дуги и выбрав на них произвольно по точке вычислим значения в них и составим сумму она представляет собой также своего рода «интегральную сумму». Аналогичный процесс может быть применен и в случае замкнутой кривой, если за точку выбрать любую ее точку, а остальные точки расположить в соответствии с тем или другим направлением на кривой. Если при стремлении к нулю интегральная сумма имеет определенный конечный предел I, не зависящий ни от способа дробления кривой (K), ни от выбора точек на участках , то он называется криволинейным интегралом (первого типа) от функции взятым по кривой или по пути и обозначается символом (где есть длина дуги кривой и напоминает об элементарных длинах . Таким образом, полученное выше выражение для массы материальной кривой может быть переписано так: Отметим особо, что в приведенном определении не играет никакой роли направление, которое может быть придано пути . Если, например, эта кривая не замкнута и под разуметь разно направленные кривые, то Пусть дана непрерывная кривая (которую мы для простоты предположим незамкнутой) и пусть вдоль нее снова задана некоторая функция Разложив кривую точками на части, выберем на отрезке кривой по произволу точку и вычислим в ней значение функции Но это значение умножим на этот раз не на длину дуги , а на величину проекции этой дуги, скажем, на ось , т.е. на ; затем составим сумму Если при стремлении нулю эта сумма имеет конечный предел I, не зависящий ни от способа дробления кривой, ни от выбора точек , то этот предел называется криволинейным интегралом (второго типа) от взятым по кривой или по пути и обозначается символом Аналогично, умножая значение и составляя сумму как предел ее получим криволинейный интеграл (второго типа) от Если вдоль кривой и существуют интегралы то и их сумму называют криволинейным интегралом («общего вида») и полагают Сопоставим теперь определение криволинейного интеграла второго типа с определением криволинейного интеграла первого типа. При очевидном сходстве оба определения имеют существенное различие: в случае интеграла первого типа при составлении интегральной суммы значение функции умножается на длину участка кривой, а в случае интеграла второго типа это значение умножается на проекцию упомянутого участка на ось . Направление пути , вдоль которого производится интегрирование, не играет роли в случае первого типа, ибо длина от этого направления не зависит. Иначе обстоит дело с интегралом второго типа: проекция упомянутой дуги на ту или другую из осей существенно зависит от направления дуги и меняет знак с изменением этого направления на обратное. Таким образом, для интегралов второго типа будет и, аналогично, Причем из существования интегралов справа уже вытекает существование интегралов слева, и обратно. Подобным же образом можно ввести понятие криволинейного интеграла второго типа, распространенного на пространственную кривую Именно, если функция задана в точках этой кривой, то строим сумму и рассматриваем ее предел при условии стремления к нулю этот предел называется криволинейным интегралом (второго типа) от и обозначается символом Аналогично определяются интегралы вида Наконец, рассматривается и интеграл («общего вида») Здесь также направление интегрирования меняет знак интеграла. Download 1.03 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|