Курсовая работа по дисциплине «Математический анализ»

§3. Площадь области, ограниченной замкнутой кривой

Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой, заданной в плоскости . Тогда площадь области R, ограниченной данной кривой, определяется формулами

Рис. 3

Здесь предполагается, что обход кривой C производится против часовой стрелки.

Если замкнутая кривая C задана в параметрическом виде то площадь соответствующей области равна

Пример 3
Найти площадь области, ограниченной гиперболой осью и вертикальными прямыми

Решение.
Вычислим площадь с помощью криволинейного интеграла.

Рис. 4

Решение.

Вычислим площадь с помощью криволинейного интеграла.

Найдем отдельно каждый из интегралов.

Следовательно, площадь заданной области равна

Пример 4
Найти площадь области, ограниченной эллипсом, заданным параметрически в виде
Решение.

Рис. 5

Применим сначала формулу

Получаем

Площадь данной фигуры можно вычислить, используя также и две другие формулы:

Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно оси

Предположим, что область R расположена в верхней и ограничена гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой C, обход которой осуществляется против часовой стрелки.
В результате вращения области R вокруг оси образуется тело Ω. Объем данного тела определяется формулами

Рис. 6

Пример 5
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси области , ограниченной кривой и прямыми

Решение.



Рис. 7
Объем этого тела найдем по формуле:

Вычислим криволинейные интегралы

Следовательно, объем тела равен

Пример 6
Найти объем эллипсоида, образованного вращением эллипса с полуосями .

Решение.



Рис. 8

Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса Мы можем ограничиться рассмотрением половины эллипса, лежащей в верхней полуплоскости Тогда объем эллипсоида с полуосями будет равен

где под функцией подразумевается верхняя половина эллипса. Переходя к параметрической форме записи, находим объем

Отсюда, в частности, следует, что объем шара (при этом ) равен

Физические

С помощью криволинейных интегралов вычисляются:
Масса кривой
Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой C. Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью . Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода

Если кривая C задана в параметрическом виде с помощью векторной функции

то ее масса описывается формулой

В случае плоской кривой, заданной в , масса определяется как

или в параметрической форме

Пример 7
Определить массу проволоки, имеющей форму отрезка от точки Масса распределена вдоль отрезка с плотностью

Решение.
Составим сначала параметрическое уравнение прямой


или

где параметр изменяется в интервале . Тогда масса проволоки равна

Пример 8
Найти центр масс проволоки, имеющей форму кардиоиды , где с плотностью



Рис. 9

Решение.

Очевидно, в силу симметрии, . Чтобы найти координату центра масс , достаточно рассмотреть верхнюю половину кардиоиды.
Предварительно найдем полную массу кардиоиды. В полярных координатах получаем

Вычислим момент первого порядка Используя формулу

Полагая (нижний и верхний пределы интегрирования становятся равными, соответственно, ), можно записать

Тогда

Следовательно, координаты центра масс кардиоиды равны .
Центр масс и моменты инерции кривой
Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой C, а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами

− так называемые моменты первого порядка.

Моменты инерции относительно осей определяются формулами





Пример 9
Вычислить момент в форме окружности с плотностью
Решение.
Уравнения окружности в параметрической форме имеют вид

Момент инерции относительно оси вычисляется по формуле

Проводя вычисления, получаем

Работа поля

Работа при перемещении тела в силовом поле вдоль кривой выражается через криволинейный интеграл второго рода

где − сила, действующая на тело, − единичный касательный вектор. Обозначение означает скалярное произведение векторов и .

Рис. 10

Заметим, что силовое поле не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы иногда может оказаться отрицательной.

Если векторное поля задано в координатной форме в виде

то работа поля вычисляется по формуле

В частном случае, когда тело двигается вдоль плоской кривой в плоскости справедлива формула

Если траектория движения определена через параметр часто означает время), то формула для вычисления работы принимает вид

изменяется в интервале от .
Если векторное поле потенциально, то работа по перемещению тела из точки выражается формулой

где − потенциал поля.

Пример 10
Найти работу, совершаемую полем при перемещении тела от начала координат до точки ) по траектории , где
) С − отрезок прямой 2) С - кривая .
Решение.
Вычислим работу при перемещении вдоль прямой

Определим теперь работу при перемещении вдоль кривой .

Пример 11

Тело массой брошено под углом к горизонту с начальной скоростью . Вычислить работу силы притяжения за время движения тела до момента соударения с землей.

Рис. 11
Решение.
Запишем закон движения тела в параметрической форме.

При соударении с землей так что время полета тела равно

Силу притяжения запишем в виде . Тогда работа за время перемещения тела равна

Полученный результат объясняется тем, что гравитационное поле Земли является потенциальным, поскольку выполняется равенство

Найдем потенциал этого поля. В общем виде он записывается как

Полагая , находим или
Таким образом, потенциал гравитационного поля равен

где C − константа, которую можно положить равной 0. В результате получаем потенциал в виде

Отсюда видно, что при перемещении тела из начальной точки ) до конечной точки работа равна