Курсовая работа по дисциплине «Математический анализ»

§2. Приложения криволинейных интегралов

Теперь можно перейти непосредственно к приложениям криволинейных интегралов. Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, рассмотрим геометрические и физические.

Геометрические.
С помощью криволинейных интегралов вычисляются:
Длина кривой
Пусть является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором Длина данной кривой выражается следующим криволинейным интегралом

где производная, а -компоненты векторной функции

Если кривая задана в плоскости, то ее длина выражается формулой



Если кривая представляет собой график заданной явно, непрерывной и дифференцируемой функции в плоскости O xy,то длина такой кривой вычисляется по формуле

Наконец, если кривая задана в полярных координатах уравнением и функция является непрерывной и дифференцируемой в интервале , то длина кривой определяется выражением

Пример 1
Найти длину кривой при условии

Решение.
Запишем функцию в виде или



Рис. 2
Поскольку y ≥ 0, то мы возьмем только положительный корень в уравнении кривой. Длина кривой равна

Пример 2
Вычислить длину параболы в интервале

Решение.
Применяя формулу находим, что

Для вычисления полученного интеграла сделаем замену

Следовательно, При получаем а при - соответственно, Тогда длина участка параболы равна

Сделаем еще одну замену. Положим

В приведенном выше выражении мы использовали тригонометрическое соотношение

В результате длина кривой равна

Разложим подынтегральное выражение на сумму элементарных рациональных дробей.

Следовательно,

Решая данную систему уравнений, находим коэффициенты

.