Курсовая работа Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании

Пример В зависимости от значения параметра , найти количество корней уравнения



Решение. Решим задачу графически. Пусть , определим количество точек пересечения графика функции и прямой в зависимости от . Исходя из сформулированного выше утверждения, график функции будет иметь участок, параллельный оси абсцисс. Заметим, что абсциссы точек этого участка составляют отрезок , и во всех его точках функция достигает наименьшего значения, равного, например, , причем

Поскольку указанная сумма представляет собой удвоенную арифметическую прогрессию с первым членом 1, последним членом 999, сложенную с числом 1000, то она равна

Тогда при уравнение не будет иметь решений, при их будет бесконечно много, а при уравнение будет иметь два решения.

Иные способы решения уравнений и неравенств с модулем

Метод раскрытия модулей

Метод раскрытия модулей рассмотрим на примере:

Пример Решить уравнение



Решение. Это уравнение содержит более одного модуля.
Метод решения уравнений, содержащих переменные под знаком двух и более модулей, состоит в следующем.
1. Найти значения переменной, при которых каждый из модулей обращается в нуль: , ; , ; , .
2. Отметить эти точки на числовой прямой.
3. Рассматриваем уравнение на каждом из промежутков и устанавливаем знак выражений, которые находятся под модулями.
1) При или . Чтобы определить знак каждого из выражений под модулем на этом промежутке, достаточно взять любое значение из этого промежутка и подставить в выражение. Если полученное значение отрицательно, значит, при всех из этого промежутка выражение будет отрицательным; если полученное числовое значение положительно, значит, при всех значениях из этого промежутка выражение будет положительным.
Возьмем значение из промежутка и подставим его значение в выражение , получаем , значит на этом промежутке отрицательно, а следовательно ``выйдет'' из под модуля со знаком ``минус'', получим: .
При этом значении , выражение получит значение , значит, оно на промежутке также принимает отрицательные значения и ``выйдет'' из модуля со знаком ``минус'', получим: .
Выражение получит значение и ``выйдет'' из под модуля со знаком ``минус'': .
Уравнение на этом промежутке получится таким: , решая его, находим: .
Выясняем, входит ли это значение в промежуток . Оказывается входит, значит является корнем уравнения.
2) При . Выбираем любое значение из этого промежутка. Пусть . Определяем знак каждого из выражений под модулем при этом значении . Оказывается, что выражение положительно, а два других отрицательны.
Уравнение на этом промежутке примет вид: . Решая его, находим . Это значение не входит в промежуток , а значит, не является корнем уравнения.
3) При . Выбираем произвольное значение из этого промежутка, скажем, и подставляем в каждое из выражений. Находим, что выражения и положительны, а --- отрицательно. Получим следующее уравнение: .
После преобразования, получим: , а значит, уравнение не имеет корней на этом промежутке.
4) При . Нетрудно установить, что все выражения на этом промежутке положительны, а значит получим уравнение: , , которое входит в промежуток и является корнем уравнения.
Ответ. , .