Kvadratik form

b (1,1,0,0), b₂ (1,0,1,0), b (1,0,0,1)
vektorlar sistemaning chiziqli erkli yechimlari boʻladi. Bu vektorlar sistemasini ortogonallab, quyidagi
c b (1,1,0,0),

c₂ _1/2c b₂ _{1/2,-1/2,}1,0_,

c₃ c ₃c₂ b _₃,₃,₃,1_vektorlar sistemasini hosil qilamiz.
^₀ 3 _{boʻlsin. U holda quyidagi sistemaga ega boʻlamiz:} ^{3x x}₂ ^x₃ ^x₄ ^{0,
x 3x}₂ ^x₃ ^x₄ ^{0,
x x2 3x3 x4 0,} ^{x x}2 ^x3 ^3_x4 ^0.
_{Bu sistemaning rangi 3 ga teng. Uning noldan farqli yechimi} c₄ (1,1,1,1) koʻrinishda boʻladi. ^{c , c2, c3, c4} vektorlar orthogonal sistemani tashkil etadi. Uni normalashtirib

_c_2 _, 2 _,0,0_,

c ^^

₆ ,−₆ ,
_2,0_, 

_c3_₋2¹3_,2¹3_,2¹3_{, 2} <sub>,

c4</sub>__{2,−2,−2,2}
ortonormalangan vektorlar sistemasini hosil qilamiz. Shunday qilib, ^f ni kanonik koʻrinishga keltiruvchi almashtirishlardan biri

y1 ² x ² x2,

_y₂ ¹ x −¹ x₂ ²x₃,

_y3 _−2¹ _{x }2¹ _x2 _2¹ _x3 _2 _x4_,

^{y4 }2 ^{x −}2 ^{x2 −}2 ^{x3 }2 ^x4 koʻrinishda boʻladi.
_{Mashqni bajaring.} f 2x x₂ 2x x₃ −2x x₄ −4x₂x₃ 4x₂x₄ 4x₃x_{4 kvadratik} formani kanonik koʻrinishga keltiruvchi xosmas almashtirishni toping.
_{Agar kvadratik formaning kanonik koʻrinishida} b b ...b 1 _{boʻlsa, u} holda bu formani kvadratik formaning normal koʻrinishi deyiladi.
Agar haqiqiy kvadratik forma qaralayotgan boʻlsa, uni normal koʻrinishga keltirish masalasi anchagina murakkab masalalardan biri hisoblanadi. Chunki bunda manfiy sondan kvadrat ildiz chiqarish talab qilinishi mumkin.
Teorema. Berilgan haqiqiy koeffitsiyentli kvadratik formaning haqiqiy xosmas chiziqli almashtirish yordamida hosil qilingan normal koʻrinishdagi musbat kvadratlar soni va manfiy kvadratlar soni bu almashtirishning tanlab olinishiga boʻg‘liq emas.
Berilgan ^f kvadratik formaning keltirilgan kanonik koʻrinishidagi musbat ishorali kvadratlar soni bu forma inersiyasining musbat indeksi, deb manfiy ishorali kvadratlar soni esa inersiyaning manfiy indeksi, deb musbat va manfiy indekslar ayirmasi esa ^f kvadratik formaning signaturasi deb ataladi.
Bu tushunchalardan foydalanib quyidagi teoremani keltirish mumkin.

Teorema. ⁿ ta noma’lumning haqiqiy koeffitsiyentli ikkita kvadratik formasi bir xil rangga va bir xil signaturaga ega boʻlgandagina va faqat shundagina, ular xosmas chiziqli almashtirish orqali bir-biriga oʻtkaziladi.
Teorema. Agarda (4) kvadratik formada oʻzgaruvchining kvadrati ishtirok etmasa, u holda chiziqli almashtirish yordamida uni hech boʻlmaganda bitta oʻzgaruvchining kvadrati qatnashgan kvadratik formaga keltirish mumkin.
Kvadratik formalarni oʻrganishda ularning kanonik koʻrinishlarini klassifikatsiyaga ajratib oʻrganish kerak boʻladi.
Biz quyida ularning bir necha turlarini keltirib oʻtamiz.
3-ta’rif. Agar ⁿ ta noma’lumning haqiqiy koeffitsiyentli ^f kvadratik formani ⁿ ta musbat kvadratdan iborat normal koʻrinishga keltirilsa, u holda bu forma musbat aniqlangan deyiladi.
4-ta’rif. Agar ⁿ ta noma’lumning haqiqiy koeffitsiyentli ^f kvadratik formasi ⁿ ta manfiy kvadratdan iborat normal koʻrinishga keltirilsa, u holda bu forma manfiy aniqlangan deyiladi.
5-ta’rif. Agar haqiqiy koeffitsiyentli ^f kvadratik formaning normal koʻrinishida ham musbat, ham manfiy kvadratlardan iborat boʻlsa, u holda bu forma ishorasi aniqlanmagan forma deyiladi.
6-ta’rif. Agar haqiqiy koeffitsiyentli ^f xos kvadratik formalarning normal koʻrinishi bir xil ishorali kvadratlardan iborat boʻlsa, u holda bu forma ishorasi yarim aniqlangan formalar deyiladi.
Masalan,
_{1. 1}(x ,x₂,x₃) x² x₂ x_{3 kvadratik forma musbat aniqlangan; 2.} ₂(x ,x₂,x₃) −x² −x₂ −x_{3 kvadratik forma manfiy aniqlangan;
3.} ₃(x ,x₂,x₃) x² −x₂ −x_{3 kvadratik formaning ishorasi aniqlanmagan;
4.} ₄(x ,x₂,x₃,x₄) x² x₂ x_{3 kvadratik formaning ishorasi yarim aniqlangan.} Amaliyotda va iqtisodiyotda eng koʻp uchraydigan kvadratik formalar ishorasi
aniqlangan kvadratik formalar boʻlganligi sababli biz asosiy e’tiborni ishorasi aniqlangan kvadratik formalarga beramiz.
Koeffitsiyentlar boʻyicha formaning musbat aniqlangan ekanligini bilish uchun quyidagi tushunchalarni kiritamiz.
_{n ta noma’lumning matritsasi} A(a_ij ) _{boʻlgan f kvadratik forma berilgan boʻlsin. Bu matritsaning yuqori chap burchagiga joylashgan} 1,2,...,n−_tartibli minorlari, ya’ni

₁₁,

11 12
_a21 a₂₂

...,
_{11 12} ... _1n a₂₁ a₂₂ ... a_2n ... ... ... ...
_an1 a_n2 ... a_nn

_{minorlari f kvadratik formaning (} A(a_ij )_{matritsaning) bosh minorlari deyiladi.} Teorema. ⁿ ta ^{x ,x2,...,xn} noma’lumlarning haqiqiy koeffitsiyentli ^{f (x)}
kvadratik formasiuning bosh minorlari qat’iy musbat boʻlganda va faqat shundagina, musbat aniqlangan boʻladi.
_Bu teoremani matematik induksiya metodidan foydalanib isbotlash mumkin. _{Isbot. n 1 boʻlganda} f a ₁x² _{. Bu forma} a ₁ 0_{boʻlgandagina musbat}
aniqlangan.
_Teoremani n −1 _{ta noma’lum uchun isbotlangan, deb faraz qilamiz va} n _ta noma’lum uchun isbotlaymiz.
Koeffitsiyentlari haqiqiy ^{f (x)} kvadratik forma berilgan boʻlib, uning matritsasi A(a_ij ) _{boʻlsin. Ma’lumki, agar f (x)kvadratik forma ustida matritsasiQ boʻlgan} xosmas chiziqli almashtirish bajarilsa, u holda forma determinantining ishorasi
oʻzgarmaydi.
Haqiqatan ham, almashtirishdan soʻng matritsasi ^QT ^AQ boʻlgan kvadratik forma hosil boʻladi. Bu yerda
_Q^T Q Q^T AQ Q^T A Q A Q2_.

^{f }^aij^xi^xj
Endi ^{i1 j1} boʻlsin. Uni quyidagicha yozish mumkin: