Kvadratik formaning kanonik shakli

Masala. Kvadratik shaklni kanonik ko`rinishga keltiruvchi ortogonal almashtirishni quring va kanonik ko`rinishni yozing:

φ( x₁; х₂) = 2x₁² - 4x₁x₂ + 5x₂² .

Xarakteristik tenglama tuzamiz va uning ildizlari —xarakteristik sonlarni aniqlaymiz:

Kvadratik shaklning kanonik ko`rinishi: φ₁= у₁² + 6y₂²

λ₁=l xos qiymatga mos birlik xos vektor e₁` (2/ ,1/ );
λ<sub>2</sub>=6 xos qiymatga mos birlik xos vektor e<sub>2</sub>` (-1/ , 2/ ).
O`tish matritsasi quyidagi ortogonal matritsadan iborat:





Agar har bir nolmas x vektor uchun φ(х) > 0 (φ < 0) bo`lsa, φ(х) kvadratik shakl musbat (manfiy) aniqlangan deyiladi. φ(х) kvadratik shakl musbat aniqlangan bo`lsa, uning qarama-qarshisi -φ(х) shakl manfiy aniqlangan bo`ladi.
Kvadratik shaklning barcha xos qiymatlari musbat (manfiy) bo`lgandagina kvadratik shakl musbat (manfiy) aniqlangan bo`ladi.
A = (a_ik) matritsaning burchak yoki bosh minorlarini quramiz:

A matritsa ko`rinishi va bosh minorlar ishoralari bo`yicha kvadratik shaklning musbat (manfiy) aniqlanganligi yoki aniqmasligi haqida xulosa yasash mumkin.

Kvadratik shakl matritsasi bosh minorlari har binning musbat bo`-lishi, uning musbat aniqlanishi uchun zarur va yetarli.
Toq tartibli bosh minorlarning har biri manfiy bo`lib, juft tartibli bosh minorlar har binning musbat bo`lishi, kvadratik shaklning manfiy aniqlanishi uchun zarur va yetarli.

R_n fazoda nuqtalar to`plami


1. n o`lchovli haqiqiy arifmetik fazoda nuqta atrofi. R <sub>n</sub> fazoda chegaralangan to`plam.
n o`lchovli haqiqiy arifmetik fazoda ikki M(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, …, x<sub>n</sub>) va N(y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub>, …, y<sub>n</sub>) nuqtalar berilgan bo`lsin. R_n da nuqtalar orasidagi masofa real fazoda qo`llanilgan formulani umumlashtirish asosida aniqlanadi. Berilgan n o`lchovli M va N nuqtalar orasidagi d masofa

formula asosida hisoblanadi. R_n fazoda nuqtalar orasidagi d masofa, real fazoda bo`lgani kabi, quyidagi xossalarga bo`ysinadi: