Kvadratik formaning kanonik shakli

2. Kvadratik shakllar va ularni kanonik ko`rinishga keltirish


n ta x₁, x₂ ,..., x_n noma`lumlarning ikkinchi darajali bir jinsli


φ(x) = a₁₁ x₁² + a₁₂ x₁ x₂ + ... + a_1n x_n +
+ a₂₁ x₁x₂ + a₂₂ x₂² + ... + a_2n x₂ x_n+
…………………………………..
+ а_n1х_nх₁+а_n2х_nх₂+ ... + а_nnx_n² =

= (1)

ko`phadiga noma`lumlarning kvadratik shakli deyiladi.

Bu yerda, а_ik = a_ki (I ≠ k, i, k = {1,2,..., n}).
(1) kvadratik shakl koeffitsiyentlaridan quyidagi simmetrik A matritsani va noma`lumlar satr — matritsasini tuzamiz:


X = (x₁, x₂,... ,x_n).

Kvadratik shakl matritsa ko`rinishida quyidagicha yoziladi:

φ(X) = X A X^T.

Misol. φ (x₁, x₂, x₃) = x₁² - 3x₂² + 5x₃² - 4x₁x₂+6x₁x₂ - 8x₂x₃ kvadratik shakl matritsasi:

Agar kvadratik shakl (x₁, x₂ , ... , x_n) = X noma`lumlari X = SY maxsusmas chiziqli almashtirish vositasida yangi Y = (y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub> ,... , у<sub>n</sub>) noma`lumlar bilan almashtirilsa, u holda uning ko`rinishi yangi y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub> , ... , у<sub>n</sub> noma`lumlarda

φ₁(y₁, y₂ ,... , у_n) = Y (S^TA S) Y^T

ko`rinishni oladi. Bu yerda, S<sup>t</sup> A S – o`xshash simmetrik matritsa.

(1) kvadratik shakl rangi deb, A matritsa rangiga aytiladi.
Kvadratik shakl rangi uning nom`lumlari chiziqli maxsusmas almashtirilganda o`zgarmaydi.
Kvadratik shaklni kanonik ko`rinishga keltirish deganda uning ko`rinishini
φ₁(y) = λ₁y₁² + λ₂y₂² + … + λ_ny_n² (2)
shaklga keltirish tushuniladi.
(2) kanonik ko`rinishdagi kvadratik shakl rangi noldan farqli λ<sub>2</sub> lar soniga teng.
A matritsa haqiqiy elementli simmetrik matritsa bo`lgani uchun (1) kvadratik shaklni (2) kanonik ko`rinishga aylantirish masalasi simmetrik chiziqli almashtirish matritsasini diagonal ko`rinishga aylantirish masa-lasiga keltiriladi.
Har bir kvadratik shakl uchun uning noma`lumlarini shunday bir chiziqli maxsusmas X = Q Y almashtiiish tanlash mumkinki, bu yerda Q - ortogonal matritsa, (1) ko`rinishdagi kvadratik shakl (2) ko`rinishni oladi. Q<sup>t</sup>AQ diagonal matritsa bo`lib, (2) kanonik ko`rinishdagi kvadratik shakl matritsasidir.
A matritsa xarakteristik tenglamasining ildizlari (1) kvadratik shakl xarakteristik sonlari deyilsa, xaralcteristik sonlarga mos xos vektorlar yo`nalishlari kvadratik shaklning bosh yo`nalishlari deyiladi.
Kvadratik shaklni kanonik ko`rinishga keltirish qoidasi ikkinchi tartibli egri chiziqlar va sirtlarni tekshirishda qo`llaniladi.