Кванты Скотт Паттерсон Brainiac Кен Дженнингс Moneyball

И Г Р А С К В А Д Р А Т А М И
81
x
5x 5
x
5x 5
x
10 10x
=
Прикрепите два новых прямоугольника к площади x
2
для получения 
г-образной фигуры x
2
+ 10x:
x
5
5
x
x
5x
5x
x
2
В таком случае головоломка аль-Хорезми сводится к вопросу: если 
г-образная фигура занимает 39 квадратных единиц площади, то каким 
должен быть х?
x
2
+ 10x = 39
x
5
5
x
x
39
=
x
2
5x
5x
Изображение само по себе неуклонно подталкивает к следующему 
шагу. Посмотрите на пустой угол. Если бы он был заполнен, то г-образная 
фигура превратилась бы в идеальный квадрат. Учтем это наблюдение 
и заполним квадрат.
39
=
+
(x + 5)
2
= 64
x
5
5
x
x
x
2
5x
5x
25
25

---

С О О Т Н О Ш Е Н И Я
82
Помещение в пустой угол квадрата 5 × 5 добавляет 25 квадратных 
единиц к уже существующей площади х
2 
+ 10х и в общей сложно-
сти дает x
2
+ 10x + 25. Это равносильно выражению общей площади 
в виде (x + 5)
2
, так как каждая сторона заполненной площади равна 
х + 5 единиц.
Между тем, поскольку мы добавили 25 единиц к левой части уравне-
ния x
2
+ 10x = 39, для сохранения баланса следует добавить 25 и к его 
правой части. Так как 39 + 25 = 64, то наше уравнение превращается в
(х + 5)
2
= 64.
Это уравнение наверняка решаемо. Вычисляя квадратные корни из 
его обеих частей, получаем х + 5 = 8 и, следовательно, х = 3.
Число 3 действительно является корнем уравнения х
2
+ 10x = 39. 
Если возвести 3 в квадрат, получится 9, а затем добавить 10 раз по 3 (вы-
йдет 30), то общая сумма составит 39, что и требовалось доказать.
В этом решении есть одна загвоздка. Если бы аль-Хорезми занимался 
алгеброй сейчас, то он не получил бы «полного доверия» к такому отве-
ту, так как не упомянул, что отрицательное число х = –13 тоже является 
корнем. Возведение его в квадрат дает 169, умножение на 10 даст –130, 
а их сумма составит 39. Но это отрицательное решение в древние време-
на было бы проигнорировано, поскольку квадрат со стороной отрица-
тельной длины геометрически не имеет смысла. Сегодня алгебра меньше 
обязана геометрии, и мы считаем положительные и отрицательные ре-
шения одинаково правильными.
Только спустя несколько столетий после смерти аль-Хорезми ученые 
пришли к пониманию, что все квадратные уравнения могут решаться 
аналогичным способом — путем заполнения квадратов до тех пор, пока 
они склонны это позволять отрицательным числам (и их квадратным 
корням), которые часто встречаются в ответах. Такая линия аргумента-
ции выявляет, что решения любых квадратных уравнений

---