L. B. Okun Elementar bóleksheler

Li gruppaları — elementleri úzliksiz parametrlerden analitikalıq ǵárezli bolǵan úzliksiz 
túrlendiriw gruppaları. Norvegiyalı matematik Sofus Lidiń (Lie, 1842—1899) atı menen atalǵan. Li 
gruppalarına dara jaǵdayda Puankare gruppası da (tórt ólshemli keńisliktiń tórt ólshemli jıljıwları 

---

111 
menen burıwları gruppası), kúshli hám elektr-ázzi tásirlesiwler teoriyasında hám ullı birlesiw 
modellerinde áhmiyetli orındı iyeleytuǵın unitarlıq abellik gruppa U(1) jáne unitarlıq unimodullik 
abellik emes SU(n), n ≥ 2 gruppası da kiredi. 
Eger gruppanıń parametrleri keńisliklik-waqıtlıq koordinatalardan ǵárezsiz bolsa, onda 
gruppa hám sáykes simmetriya globallıq dep ataladı, al, eger ǵárezli bolatuǵın jaǵdayda gruppa 
hám oǵan sáykes simmetriyanı lokallıq, kalibrovkalıq dep ataydı. 
Eger Li gruppası triviallıq emes invariant podgruppalarǵa bolmasa (diskret bolǵan 
podgruppalardı esapqa almaǵanda), onda onı ápiwayı dep ataydı. Eger Li gruppası triviallıq emes 
invariant abellik podgruppalarǵa iye bolmasa, onda onı yarım ápiwayı dep ataydı. 
Li gruppasınıń elementi ǵárezli bolǵan ǵárezsiz parametrlerdiń sanı gruppanıń ólshemi dep 
ataladı (ingliz tilindegi dimension). Eger gruppalıq kóp túrliligi kompaktlı bolsa, onda Li gruppasın 
kompaktlı dep esaplaydı.
G gruppasınıń usı gruppanıń elementleri menen bir mánisli sáykesliktegi matricalar 
gruppasındaǵı sáwlesi G gruppasınıń matricalıq kórsetiliwi dep ataladı. Li gruppası bolǵanda birlik 
G = 1 + dω
i
I
i
túrlendiriliwine qanshama bolsa da jaqın bolǵan túrlendiriwlerdi júzege keltiretuǵın 
matricalar ayırıp alınǵan orındı iyeleydi. Bul ańlatpada dω
i
arqalı túrlendiriwdiń sheksiz kishi 
parametrleri belgilengen, I
i
berilgen kórsetiwdiń generatorları dep atalatuǵın shama. Sızıqlı 
ǵárezsiz generatorlardıń sanı gruppanıń ólshemlerine iye. Bir biri menen kommutaciyalanatuǵın 
sızıqlı generatorlardıń maksimallıq sanın gruppanıń rang dep ataydı (ingliz tilinde rank). 
Matricalar tásir etetuǵın sızıqlı keńisliktegi sızıqlı ǵárezsiz vektorlardıń sanı kórinistiń ólshemi 
dep ataladı (ishki simmetriya bolǵan jaǵdayda kórinistiń ólshemi - sáykes multiplettegi 
bólekshelerdiń sanı). 
Fundamentallıq dep eń ápiwayı kórinislerge aytadı. Bul kórinislerden kóbeytiwdiń 
járdeminde gruppanıń barlıq kórinislerin dúziwge boladı (SU(n) gruppasında bul n-qurawshıǵa iye 
spinorlar bolıp tabıladı). Qosılǵan (ingliz tilinde adjoint) kórinistiń ólshemi gruppanıń ólshemine 
teń. 
Kartannıń klassifikaciyasına sáykes barlıq kompaktlı ápiwayı Li gruppaları gruppalardıń tórt 
regulyarlıq seriyalarına bólinedi: 𝑆𝑈(𝑙 + 1), 𝑆𝑂(2𝑙 + 1), 𝑆𝑝(2𝑙), 𝑆𝑂(2𝑙). Olar 𝐴
𝑙
, 𝐵
𝑙
, 𝐶
𝑙
, 𝐷
𝑙
algebralarına sáykes keledi. Olardıń rangları bolǵan 𝑙 shaması ıqtıyarlı túrde úlken bola aladı: 𝑙 =
1, 2, …, hám bes ayrıqsha gruppalar: 𝐺
2
, 𝐹
4
, 𝐸
6
, 𝐸
7
, 𝐸
8
(indeks gruppanıń rangın kórsetedi) 
Biz 𝑀 arqalı belgilegen 𝑛 × 𝑛 matricalarınıń tiykarǵı gruppaların bılayınsha dizimge alamız 
(kompaktlıq, ápiwayı yamasa yarım ápiwayı bolıwı shárt emes, 𝑑 arqalı gruppanıń ólshemin 
belgileymiz): 
𝐺𝐿(𝑛, 𝐶) —ulıwmalıq (G), sızıqlı (L) kompleksli (C) regulyarlı matricalardıń (det 𝑀 ≠ 0) 
gruppası, 𝑑 = 2𝑛
2
. 
𝑆𝐿(𝑛, 𝐶) — arnawlı (𝑆: det 𝑀 = 1) sızıqlı gruppa, 𝐺𝐿(𝑛, 𝐶) nıń podgruppası, d=2(n
2
—1). 
𝐺𝐿(𝑛, 𝑅) — zatlıq (R, ingliz tilindegi real) regulyarlı matricalardıń ulıwmalıq sızıqlı gruppası, 
𝑑 = 𝑛
2
. 
𝑆𝐿(𝑛, 𝑅) — zatlıq matricalardıń sızıqlı gruppası, 𝐺𝐿(𝑛, 𝑅) gruppasınıń podgruppası, 𝑑 = 𝑛
2
−
1. 
𝑈(𝑛) — unitar (𝑈: 𝑀𝑀
+
= 𝑀
+
𝑀 = 1, bul jaǵdayda 𝑀
+
shaması 𝑀 niń ermitlik túyinlesi) 
matricalardıń unitarlıq gruppası, 𝑑 = 𝑛
2
. 
𝑆𝑈(𝜂) — arnawlı unitarlıq gruppa, 𝑈(𝑛) gruppasınıń podgruppası, 𝑑 = 𝑛
2
− 1. 
𝑂(𝑛, 𝐶) — kompleksli ortogonallıq (𝑀𝑀
̃ = 1, 𝑀 ushın transponirlengen 𝑀
̃ arqalı 
belgilengen) matricalardıń ortogonallıq (O) gruppası, 𝑑 = 𝑛(𝑛— 1). 
𝑂(𝑛) = 𝑂(𝑛, 𝑅) — zatlıq ortogonallıq matricalardıń ortogonallıq gruppası, 𝑑 = 𝑛(𝑛— 1)/2. 
𝑆𝑂(𝑛) — arnawlı ortogonallıq gruppa yamasa 𝑛-ólshemli keńisliktegi aylandırıwlar gruppası, 
𝑂(𝑛) niń podgruppası, 𝑑 = 𝑛(𝑛— 1)/2. 
𝑆𝑝(𝑛) — 𝑛 × 𝑛 unitar matricalarınıń simplektikalıq (𝑆𝑝) gruppası, bul jaǵdayda 𝑛 sanı 𝑀
̃𝐽𝑀 =

---

112 
𝐽 shártin qanaatlandıratuǵın jup san, 𝐽 arqalı singulyarlıq emes antisimmetriyalıq matrica 
belgilengen. 
𝑈(𝑚, 𝑛 − 𝑚) - 𝑀𝑔𝑀
+
= 𝑔 shártin qanaatlandıratuǵın psevdounitarlıq matrica, bul teńlikte 
𝑔 arqalı 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚 teńsizlikleri orınlanǵanda 𝑔
𝑘𝑘
= 1, 𝑚 + 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 shárti orınlanǵanda 
𝑔
𝑘𝑘
= 1 teńliklerin orınlı bolatuǵın diagonallıq matrica belgilengen. 𝑑 = 𝑛
2
.
𝑂(𝑛, 𝑛 − 𝑚) 
— 
𝑀𝑔𝑀 = 𝑔 
shártin 
qanaatlandıratuǵın 
zatlıq 
matricalardıń 
psevdoortogonallıq gruppası; 𝑑 = 𝑛(𝑛— 1)/2.