Laboratoriya ishi № Mavzu: Raqamli texnika negiz elementlarini tadqiq etish. Ishning maqsadi

Chinlik jadvali va Bul algebrasi

Ikkita x va yo’zgaruvchilarning elementar mantiqiy funktsiyalarini ko’raylik. 3.2-jadval.

Funktsiya	x, y argumentli funktsiya qiymati				Funktsiya belgisi	Funktsiya nomi
	00	01	10	11
f0	0	0	0	0	0	doimo yolg’on
f1	0	0	0	1	xy	konyunktsiya
f2	0	0	1	0		y bo’yicha tahqiq
f3	0	0	1	1	x	x doimohaqiqiy
f4	0	1	0	0	y	x bo’yicha tahqiq
f5	0	1	0	1	y	y doimo haqiqiy
f6	0	1	1	0	xy	x va y ni 2 ning moduli bo’yicha qo’shish
f7	0	1	1	1	xy	dizyunktsiya
f8	1	0	0	0	xy	Pirs strelkasi
f9	1	0	0	1	xy	teng qiymatlilik
f10	1	0	1	0		y doimo yolg’on
f11	1	0	1	1	xy	implikatsiya
f12	1	1	0	0		x doimo yolg’on
f13	1	1	0	1	yy	implikatsiya
f14	1	1	1	0	x/y	SHeffer shtrixi
f15	1	1	1	1	1	doimo haqiqiy

3.2-jadvaldagi funktsiyalardan bir qismi trivial hisoblanadi. Masalan, f₀=0, f₁₅=1 va f₃=x, f₅=y. Ularning ichida ikkitasi elementar funktsiyalardir - f₁₀=y, f₁₂=x. f₂ va f₄ funktsiyalari esa mos holda y va x bo’yicha tahqiqi funktsiyalari hisoblanadi.

Qolganlarini qisqacha tavsiflaylik:
- x va y mantiqiy o’zgaruvchilarning dizyunktsiyasi. Qisqacha x va y ning dizyunktsiyasi. xy kabi belgilanadi. «x yoki y» deb o’qiladi. Tahrifi: x va y mantiqiy o’zgaruvchilarning dizyunktsiyasi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x va y yolg’on bo’lgandagina yolg’on hisoblanadi. (3.3-jadval)
- x va y mantiqiy o’zgaruvchilarning konyunktsiyasi. xy kabi belgilanadi. «x VA y» deb o’qiladi. Tahrifi: x va y ning konyunktsiyasi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x va yhaqiqiy bo’lgandagina haqiqiy hisoblanadi. (3.4-jadval)

3.3-jadval		3.4-jadval
00=0 01=1 10=1 11=1		00=0 01=0 10=0 11=1

- x va y mantiqiy o’zgaruvchilarning teng qiymatliligi. xy kabi belgilanadi. «x y ga teng qiymatlik» deb o’qiladi. Tahrifi: x va y ning teng qiymatliligi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x va yhaqiqiyliklari mos kelgandagina haqiqiy hisoblanadi (3.5-javdal).
-x va y ni 2 ning moduli bo’yicha qo’shish. xu kabi belgilanadi. «x ni y ga 2 ning moduli bo’yicha qo’shish» deb o’qiladi. Tahrifi: x va y ni 2 ning moduli bo’yicha qo’shish murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x va y ning haqiqiyliklari mos kelmaganda haqiqiy hisoblanadi (3.6-jadval). Bahzi adabiyotlarda bu funktsiyani teng qiymatlilikning inkori deb VA atashadi.

3.5-jadval		3.6-jadval
00=1 01=0 10=0 11=1		00=0 01=1 10=1 11=0

- x va y ning implikatsiyasi. xy kabi belgilanadi. «Agar x, unda y» deb o’qiladi. Tahrifi: x va y ning implikatsiyasi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x haqiqiy, y yolg’on bo’lgandagina yolg’on hisoblanadi (3.7-jadval). Tahkidlash lozimki, implikatsiya sabab va oqibat orasidagi bog’lanish mahnosiga ega emas, ya’ni x ning haqiqiyligidan y ning haqiqiylik sharti kelib chiqmaydi. Aksincha, implikatsiya yordamida tuzilgan murakkab fikrning haqiqiyligi uchun x ning yolg’onligi kifoya. f₁₃ funktsiya yx ga mos keladi.
- x va y ning SHeffer shtrixi. x/y kabi belgilanadi. «x shtrix y» deb o’qiladi. Tahrifi: x va y ning SHeffer shtrixi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x va y haqiqiy bo’lgandagina yolg’on hisoblanadi (4.8-jadval).
- x va y ning Pirs strelkasi. xy kabi belgilanadi. «x Pirs strelkasi y» deb o’qiladi. Tahrifi: x va y ning Pirs strelkasi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x va y yolg’on bo’lgandagina haqiqiy hisoblanadi (3.9-jadval).

3.7-jadval		3.8-jadval		3.9-jadval
00=1 01=1 10=0 11=1		00=1 01=1 10=1 11=0		00=1 01=0 10=0 11=0

3.10-jadvalda uchta o’zgaruvchili mantiqiy funktsiya uchun haqiqatlik jadvali keltirilgan.

3.10-jadval
To’plam tartib raqami	x1, x2, x3 to’plamlari	f funktsiya qiymati
0 1 2 3 4 5 6 7	000 001 010 011 100 101 110 111	0 0 0 1 0 1 1 1

Bul algebrasining formulalari


1) =x
2) xy=yx
3) (xy)z=x(yz)
4) x y= y x
5) (x y z=x (y z)
6) x(y z)=xy xz
7) x yz=(x y)(x z)
8) =
9) =
10) x x=x
11)xx=x
12) 1x=x
13) 0 x=x
Bulardan o`rniga qo`yish printsipi: agarx = u bo`lsa, u holda x mavjud bo`lgan har qanday formulada, x o`rniga uni qo`yish mumkin va bunda ekvivalent formula olinadi.
Hisoblash sistemalarining asosiy texnik bazasi bo`lganhisoblash mashinalari arifmetik amallar bilan bir qatorda, mantiqiy amallarni VAbajarish xususiyatiga ega.
Bizga ma’lumki, mantiq - bu fikrlash shakllari va qonunlari haqidagi fandir. Mantiqmatematika esa mantiqiy masalalarni yechish uchun rasmiy usullarni tanlash imkonini o`rganish bilan shug`ullanadi. Elektron hisoblash mashinalarida va umuman raqamli elektron texnikasida asosan mantiqiymatematikaning boshlang`ich bo`limi - fikrlarni (bildirilgan yoki bayon etilgan) hisoblash, ya’ni mantiqiy algebra qo`llaniladi. Ba’zi adabiyotlarda mantiqiy algebrani XIX asrda fikrlarni hisoblash asoslarini yaratgan ingliz olimi Djordj Bul nomi bilan bog`laydilar, ya’ni Bul algebrasi deb VAatashadi. Hozirgivaqtda mantiqiy algebra EHMning har xil uzellarini analiz qilishda va sintezlashda VAda mantiqiy masalalarni mashina yordamida yechishda keng qo`llaniladi.
Har qanday mantiqiy funktsiya (haqiqatlik) chinlik jadvali orqali berilganda argumentqiymatlarining har bir to`plamiga mos ravishda funktsiyaning qiymati 0 va 1 yokid ko`rinishida beriladi (d belgisi funktsiyaning noaniq qiymatini bildiradi, uning o`rniga ba'zi holatda 0 yoki 1 ko`rsatish mumkin). Funktsiyaga noaniq (d) qiymatni beradigan to`plamga ma'nosiz to`plam deyiladi. Argumentlarning barcha to`plamlarida faqat 0 va 1 qiymatlari bilan aniqlangan funktsiyani to`liq aniqlangan, aks holda qisman aniqlangan deyiladi.
Bildirilgan fikrlar tushunchasi mantiqiy algebraning dastlabki (boshlang`ich) tushunchasi bo`libxizmat qiladi. Bildirilgan fikr sifatida to`g`ri (haqiqiy) yoki noto`g`riligi nuqtai-nazaridan bildirilgan har qandaytasdiq tushuniladi. Fikrningboshqa sifat belgilari (yaxshi, yomon, nodir, adabiy, siyosiy va h.) e'tiborga olinmaydi. Fikr faqat haqiqiy (to`g`ri) yoki noto`g`ri bo`lishi mumkin. Fikrning bo`lishi mumkin bo`lganholatlari sifatida to`g`ri yoki noto`g`riligini aytish mumkin. Fikrlarning shu ikkilik tabiatiga mosligini e'tiborga olib, ularni mantiqiy o`zgaruvchilar deb atashga kelishilgan va lotin alifbosining harflari bilan belgilash qabulqilingan. Bunda fikrning to`g`ri holiga 1 qiymati va noto`g`ri holiga 0 qiymati beriladi. Fikrlar sodda va murakkab bo`lishi mumkin. Sodda fikr deb, haqiqiylik qiymati boshqa qandaydir fikrning haqiqiylik qiymatiga bog`liqbo`lmagan fikrga aytiladi. Misol sifatida quyidagi ikki fikrni keltirishimiz mumkin:
x = «O`zbekistonRespublikasi Osiyo qit'asida joylashgan»;
y = «Optika matematika fanining bir qismi».
Birinchi fikr haqiqiy, ikkinchisi noto`g`ri, ya'ni haqiqatga to`g`ri kelmaydi. Shuning uchun ularni quyidagicha yozish o`rinli bo`ladi: x=1, y=0.
Murakkabfikrdeb, haqiqiylikqiymati boshqa fikrlarning haqiqiylik qiymatiga bog`liqbo`lganfikrga aytiladi. Shuning uchun har qandaymurakkab fikrni o`z tarkibiga kiruvchi sodda fikrlarning yoki ba'zi ikkilik argumentlarning mantiqiy funktsiyasi sifatida qarash mumkin. O`z navbatida murakkab fikrlar VAjuda (o`ta) murakkab fikrlarning argumentlari bo`libxizmat qilishi mumkin. Umuman, mantiqiy funktsiya quyidagicha ta'riflanadi:
f(x₁, x₂,..., x_n) mantiqiy funktsiya deyiladi, agar u VAo`z argumentlari singari faqat ikki qiymatni qabulqilishi mumkin bo`lsa, bu qiymatlar sifatida yuqorida ko`rsatib o`tilganidek 0 va 1 simvollari qo`llaniladi. Mantiqiy funktsiyalarning argumentlari faqat ikki qiymatni qabulqilishi mumkinligi tufayli har qanday mantiqiy funktsiyaning aniqlanish sohasi cheklangan. Shuning uchun har qanday mantiqiy funktsiya argumentlarining qiymatlariga bog`liq bo`lgan o`zining qiymatlari jadvali yordamida berilishi mumkin.
Misol. Uchta argumentga bog`liq bo`lgan f(x₁, x₂,x₃) va j(x₁, x₂,x₃) mantiqiy funktsiyalar qiymatlari 1-jadvalda berilgan. Argumentlarning qiymatlari majmuasiga to`plam deyiladi va a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>,..., a<sub>i</sub>,..., a<sub>n</sub> bilan belgilanadi, bu yerda a<sub>i</sub> birga yoki nolga teng (i=1,2,...,n).
3.11-jadvalda berilgan funktsiyalar sakkizta to`plamlarda aniqlangan. f(x₁,x₂,x3) funktsiyasi (0,0,1) va (0,1,1) to`plamlarda birga, barcha boshqa to`plamlarda esa nolga teng;
3.11-jadval

x1		x2	x3	f (x1,x2,x3)	(x1,x2x3)
0 0 0 0 1 1 1 1		0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 1 0 1 0 0 0 0	0 0 0 1 0 1 1 0

j(x₁,x₂,x₃) funktsiyasi esa (0,1,1), (1,0,1) va (1,1,0) to`plamlarda birga, barcha boshqa to`plamlarda esa nolga teng.
mantiqiy funktsiyalarning ba'zi xususiyatlarini ko`rsatib o`tish joizdir.
1. Har qandayn argumentli mantiqiy funktsiya 2ⁿ ta to`plamlarda aniqlanadi.
Haqiqatdan VAargumentlarning har bir to`plamiga (naboriga) n-xonali ikkilik raqamni ko`rsatish mumkin. n-xonali ikkilik raqamlarning soni esa 2<sup>n</sup> ga teng.
Mantiq algebrasiga faqatgina ikkita qiymatni0 va 1 qabulqiladigan o`zgaruvchilar kuritiladi.
O`zgaruvchilarx ,y,z … bilan belgilanadi. Mantiq algebrasida ekvivalentlik
nisbativa uchta amal - diz'yunktsiya (yoki amali) (V) kon'yunktsiya ( Λ) ( va amali), inkor (emas) ( ). Ekvivalentlik nisbati quyidagi xususiyatlarni qondiradi. x = x-reflektivlik;
agar x = u bo`lsa, u holdau = x - simmetriyalik; agar x = u va u = z bo`lsa, u holdax = ztranzitivlik.
Bulardan o`rniga qo`yishprintsipi: agarx = u bo`lsa, u holdax mavjud bo`lganhar qandayformulada, xo`rniga uni qo`yish mumkin va bunda ekvivalent formula olinadi.


Mantiq algebrasi quyidagi teoremalari: