Lagranj va Klero tenglamalari maxsus yechimlar va ularning mavjudligi. Birinchi tartibli har-xil sinfdagi tenglamalar

Misol 1.
Bu hosila da chegaralanmagan. Lekin funksiya tenglama yechimi emas. Shuning uchun u maxsus yechim ham bo’lolmaydi.
Misol 2.
Lipshis sharti bajaralimaydigan nuqtalarning geometriko’rni lekin berilgan differensial tenglamaning yechimi. Demak maxsus yechim bo’lishi mumkin. Buni tekshirish uchun berilgan tenglamaning umumiy yechimini topamiz.


Lagranj tenglamasining umumiy yechimi
(2) bo’ladi
bo’lganligi uchun bo’ladi.
Umumuiy yechim yarim parabolalardan iboratdir. to’gri chiziqning harbir nuqtasidan (2) tenglamadan qiymatida aniqlanuvchi parabola o’tadi. Shunday qilib maxsus yechim.
Demak (1) tenglamaning maxsus yechimni topish uchun, Lipshis sharti bajarilmaydigan nuqtalarni urnini topish kerak.
Agar bu o’rin bir yoki bir necha egri chiziqlarni tashkil etsa, bu egri chiziqlarning (1) tenglamani integral egri chiziqi bo’lishligini tekshirish kerak va uning har-bir nuqtasida yagonalik xossasini bajarilmasligini tekshiramiz.
Agar bu ikki shart bajarilsa, topilgan egri chiziq maxsus yechim bo’ladi.
Faraz etaylik, hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama
(3)
berilgan bo’lsin.
(3) tenglamaning chap tomoni ga nisbatan - nchi darajali keltirilmaydigan algebraik kupxadlidan iborat bo’lsin. Ya’ni
(4)
bunda koeffisiyentlarning hammasi va ga nisbatan ko’pxadlidir. (4) tenglama umumiy aytganda -ta yechimga ega.
(5)
bu - ta tarmoqlaridan faqat xaqiqiy tarmoqlarni qaraymiz. Bu tarmoqlarni hammasi bo’lmagan x va u ning qiymatlarida va ning uzluksiz funksiyalari bo’ladi.
Bu tarmoqlar uchun Lipshis shartini bajarilishligini tekshiramiz.
hosilani hisoblash uchun oshkormas funksiyani differensialash koidasidan faydalanib (3) dan.
ga ega bo’lamiz.
Bu keyingi tenglikdan
(6) xosil bo’ladi
Lekin koeffisiyentlarning hammasi u ga nisbatan differensialanuvchi bo’lgani uchun (6) hosila va maxraji nolga teng bo’lmagan hamma qiymatlarda chekli va uzluksizdir, ya’ni Lipshis shartini qanoatlantirmaydigan x va u ning qiymatlari
₍₇₎
tenglamani qanoatlantirishi kerak.
differensiallash amali bajarilgandan so’ng chap tomonidagi o’rniga (3) tenglamadan aniqlangan f_i(x,y) funksiyalardan birini olish kerak. Boshqacha aytganda Lipshis sharti bajarilmaydigan nuqtalarning XOY tekislikdagi geometrik o’rnini aniqlovchi tenglamani tuzish uchun (3) va (7) dan ni yuqotish kerak.Oliy algebrada, rasional operasiyalar yordamida ikki algebraik tenglamadan bitta o’zgaruvchini yuqotish usuli beriladi.Bunga bu tenglamalarning rezultanti deyiladi.Rezultantning nolga tengligi esa ikki tenglamaning umumiy yechimiga ega bo’lish shartidan iborat.Biz ko’rayotgan holda (7) , (3) dan ga nisbatan olingan hosiladir.Bu tenglamalarning rezultanti, ga nisbatan (3) tenglamaning diskriminantidan iboratdir.Diskriminantning nolga tengligi berilgan tenglama va undan hosila olish natijasida xosil bo’lgan tenglamaning umumiy yechimga ega bo’lish shartidir. Boshqacha aytganda (3) tenglamaning o’zgaruvchiga nisbatan karrali ildizga ega bo’lishi shartidir.
(3) va (7) tenglamadan ni yuqotsak
(8)
tenglamaga ega bo’lamiz.
Bu tenglamaga (3) tenglamaning - diskriminant egri chizig’i deyiladi.Umuman aytganda -diskriminant egri chiziq bir yoki birnechta egri chiziqlarni ifoda etadi. Faraz etaylik (8) ni ga nisbatan yechish mumkin bo’lsin.
Ya’ni (9)
Agar (9) egri chiziq (3) tenglamaning yechimi bo’lsa, umuman aytganda, bu maxsus yechim bo’lishi mumkin.
Qoida 1. Agar (3) tenglamaning chap tomoni ga nisbatan ko’pxadli bo’lsa, u holda
(7)
tenglamani tuzamiz. (3) va (7) tenglamalardan ni yo’qotib, diskriminant egri chiziqni aniqlovchi (8) tenglamani xosil qilamiz. Agar bu tenglamadan aniqlangan funksiya differensial tenglamaning yechimi bo’lsa, u umuman aytganda maxsus yechim bo’lishi mumkin.
Misol 3.

Bular berilgan tenglamaning yechimi bo’ladi. Demak ular maxsus yechim bo’lishi mumkin. Berilgan tenglamaning umumiy yechimini topamiz
bu birjinsli tenglama


(10)

Buboshiordinatao’qidabo’lib, o’zgaruvchiparametrgabog’liqbo’lganparabolalaroilasidaniboratdir.
maxsusyechimdirchunkiuningixtiyoriy nuqtasidan (10) parabolalaroilasining qiymatibilananiqlanuvchiparabolalardanbirio’tadi. Bu maxsus yechim, parabolalar oilasining uramasidan iboratdir.
Misol 4.

ni yukatsak - diskrimiantini topamiz.
y=0 bu berilgan tenglamani qanoatlantiradi.
Uning maxsus yechimi yoki maxsusmasligini bilish uchun berilgan tenglamani umumiy yechimini topamiz.

yechimo’zgarmas ningxechqandayqiymatidaumumiyyechimdankelibchiqmaydi. Shuning bilan birga maxsus yechim emas, chunki integral egri chiziqlar absissa uqini kesmaydi.
Misol 5.

- diskriminat topamiz lekin tenglama yechimi emas demak maxsus yechim ham bo’lolmaydi.
2 XOL Yuqorida kurdikkim, agar berilgan differensial tenglama larga nibatan algebraik ko’pxadlidan iborat bo’lsa, topilgan maxsus yechim ham ga nisbatan algebraik funksiyadan iborat bo’ladi.
Faraz etaylik (3) tenglamaning umumiy integrali
(11)
berilgan bo’lsin.
Ma’lumki (11) egri chiziqlar oilasining o’rama chizig’i mavjud bo’lsa, (12) tenglama va (11) dan parametr ni yuqotish natijasida xosil bo’lgan
(13)
Egri chiziq bilan aniqlanar edi. (13) ga –diskriminanti chizig’i deyiladi. Agar bu egri chiziq (11) egri chiziqlar oilasining uramasi bo’lsa, u birinchidan (3) tenglamaning yechimi bo’ladi. Haqiqatdan ham o’ramaning har-bir nuqtasidagi element, (11) integral egri chiziqlar oilasining bittasining elementi bilan mos keladi. Lekin (11) integral egri chiziqlar oilasi (3) tenglamaning yechimi bo’lgani uchun, uramaning hamma elementlari ham bu tenglamani qanoatlantiradi.
Ya’ni urama tenglamaning yechimi bo’ladi. Ikkinchidan bu o’rama maxsus yechim bo’ladi chunki urama nuqtalaridan umumiy urinmaga ega bo’lgan ikkita integral egri chiziqlar o’tadi, bu egri chiziqlardan biri (11) oilaning egri chiziqlari, ikkinchisi esa o’rama chizig’ining o’zidir. Ya’ni o’rama nuqtalarida Koshi teoremasining yagonalik sharti bajarilmaydi.
Demak berilgan tenglamaning umumiy integrali ma’lum bo’lsa, uning maxsus yechim (11) va (12) tenglamadan parametr ni yuqotish natijasida hosil qilinadi. (agar yuqotish natijasida xosil qilingan egri chiziq tenglamaning qanoatlantirsa)
Misol
tenglamaning umumiy integralini topamiz.







Bu berilgan tenglamaning umumiy integralidir. Umumiy integral, markazi abssissa o’qida yotib, radiusi markaz abssissasining yarmiga teng bo’lgan aylanalar oilasidan iboratdir.
Maxsus yechimni aniqlaymiz. Yuqorida aytilganlarga ko’ra:

-diskriminant egri chiziq tenglamasini tuzamiz:
,
bundan
(15)
ga ega bo’lamiz.Birinchidan bu, umumiy integrallar oilasining o’ramasi, ikkinchidan bular berilgan tenglamaning yechimi.
Demak berilgan tenglamaning maxsus yechimi.
Uning maxsus yechim ekanligiga ishonish uchun uning ixtiyoriy har bir nuqtasiga, tenglamaning boshqa integral chiziqlarining urinishini aniqlaymiz.
Ma’lumki ikkita egri chiziqlarning, abssissasi x₀ bo’lgan nuqtada urinish sharti
(16)
dan iboratdir.
Bu shartning tenglamaning

integral chiziqlari uchun bajarilishini tekshiramiz.
(16) ga asosan x=x₀ da
(17)
Bularning ikkinchisidan

Bu qiymatni (17) ning birinchisiga qo’ysak
soddalashtirsak
ga ega bo’lamiz. Bu tenglik x₀ ning hamma qiymatlarida urinlidir.
Demak (15) yechimning abssissasi x₀ bo’lgan xar bir nuqtasiga , (14) yechimning da aniqlangan integral chizigi urinadi.
(15) tenglamaning maxsus yechimidir.