Laplas integratsiyasini differentsiallashtirish transformatsiyasi
Download 322.25 Kb.
|
380667 (1)
|
Kirish Laplas integratsiyasini differentsiallashtirish transformatsiyasi Avvalo, agar biz nazorat haqida gapiradigan bo'lsak, unda nazorat ob'ekti mavjud, ya'ni. ma'lum bir mexanizm, yig'ish yoki qurilma, ma'lum bir texnologik, energiya yoki transport jarayoni, istalgan xatti-harakati yoki oqimi ta'minlanishi kerak. Boshqarish ob'ektining xatti-harakati, uning harakati natijasi ba'zi ko'rsatkichlar bilan belgilanadi. Ko'pincha ular ba'zi jismoniy miqdorlarning qiymatlari bo'lib, ular chiqish miqdorlari yoki boshqaruv ob'ektining chiqish koordinatalari deb ataladi. Haqiqiy sharoitda har bir qurilma yoki jarayon tashqi muhitning ko'plab ta'siriga ega. Barcha ta'sirlar, ob'ektning ta'siriga, uning chiqish qiymatlariga ta'siri nuqtai nazaridan, ikkita asosiy farq qiluvchi guruhga bo'linadi. Ba'zi ta'sirlar ob'ektning xatti-harakatlarida kerakli o'zgarishlarni, maqsadlarga erishishni ta'minlaydi. Bunday ta'sirlar nazorat deb ataladi, ular yo'q bo'lganda, nazorat qilish muammosi umuman hal etilmaydi. Boshqa ta'sirlar, aksincha, maqsadga erishishga to'sqinlik qiladi va qoida tariqasida ularni o'zgartirish mumkin emas. Bunday ta'sirlar bezovtalanish (yoki oddiygina bezovtalanish) deb ataladi. Nazoratning vazifasi, mohiyatan, buzilishlar mavjudligidan qat'i nazar, ob'ektning istalgan xatti-harakatiga erishiladigan nazorat harakatlarining o'zgarishi qonunini shakllantirishdir. Nazoratning murakkab va ko'p qirrali muammosi torroq tartibga solish muammosini o'z ichiga oladi, biz uni asosan quyida ko'rib chiqamiz. Tartibga solish vazifasi ob'ektning chiqish qiymatlarini vaqtning ba'zi mos yozuvlar funktsiyalariga - asosiy ta'sirlarga teng (yoki mutanosib) saqlashdir. Ikkinchisi ma'lum bir qonun bo'yicha ham, ilgari noma'lum bo'lgan qonunga ko'ra ham doimiy yoki o'zgaruvchan bo'lishi mumkin. Boshqaruv ob'ekti jonsiz tabiatga, xususan, texnik qurilmaga ham, yovvoyi tabiatga ham (odamlar jamoasi) tegishli bo'lishi mumkin. O'z navbatida, boshqaruvning o'zi ham shaxs (uchuvchi samolyotni boshqaradi) va texnik qurilma (avtopilot samolyotni boshqaradi) tomonidan ham amalga oshirilishi mumkin. Inson aralashuvisiz amalga oshiriladigan boshqaruv avtomatik boshqaruv deyiladi. Ushbu fanning predmeti - texnik ob'ektlarni avtomatik boshqarish nazariyasi. Jonsiz va tirik tabiatni qamrab olgan boshqaruvning umumiy nazariyasi kibernetika fanining predmeti hisoblanadi. Avtomatik boshqaruv nazariyasi kibernetikaning bir qismidir. Avtomatik boshqaruvni amalga oshirish uchun boshqaruv ob'ekti va boshqaruv moslamasi yoki regulyatordan iborat tizim yaratiladi. Bunday tizim mos ravishda avtomatik boshqaruv tizimi deb ataladi. Birinchi marta, ko'rinishidan, yuqori aniqlikdagi mexanizmlarni, birinchi navbatda, soatlarni yaratuvchilar regulyatorlarni qurish zarurligiga duch kelishdi. Hatto kichik, ammo har doim ularga aralashish, oxir-oqibat, aniqlik nuqtai nazaridan qabul qilinishi mumkin bo'lmagan oddiy kursdan og'ishlarga olib keldi. Ushbu shovqinlarni (tartibsizliklarni) sof konstruktiv vositalar bilan, masalan, qismlarga ishlov berishni yaxshilash, ularning massasini oshirish yoki qurilmalar tomonidan ishlab chiqilgan foydali kuchlarni ko'paytirish orqali bartaraf etishning iloji bo'lmadi va tizimga muammolarni hal qilish uchun regulyatorlar kiritila boshlandi. aniqlik muammosi. Bizning eramizning boshida arablar suzuvchi daraja regulyatori bilan suv soatini etkazib berishdi. Gyuygens 1657 yilda soatga mayatnik tezligini regulyatorini qurdi. Garchi o'sha uzoq vaqtlarda alohida avtomatik regulyatorlar paydo bo'lgan bo'lsa-da, ular texnologiya tarixi uchun qiziqish epizodlari bo'lib qoldi va texnologiyaning shakllanishiga va avtomatik tartibga solish nazariyasiga jiddiy ta'sir ko'rsatmadi . Sanoat regulyatorlarining rivojlanishi 18-19-asrlar oxirida, Yevropada sanoat inqilobi davrida boshlangan. Birinchi sanoat regulyatorlari 1765 yilda I.I. tomonidan qurilgan bug 'dvigatelining qozonini oziqlantirish uchun avtomatik float regulyatoridir. Polzunov va bug 'dvigatelining markazdan qochma tezligini regulyatori, buning uchun J. Vatt 1784 yilda patent olgan. Ushbu regulyatorlar, go'yo, tartibga solish tamoyillari va mexanika bilan bog'liq regulyatorlarning ixtirolari bo'yicha takliflar oqimi uchun yo'l ochdi. Bu boradagi ilk tadqiqot nashrlari 1930-yillarda boshlangan (D.S. Chijovning birinchi maʼlum nashri 1823-yilda boʻlgan). Fundamental deb e'tirof etilgan eng muhimlari yangi fanning asoslarini o'z ichiga olgan uchta nazariy asar edi. Bular D.K. Maksvell "Regulatorlar to'g'risida" (1866) va I.A. Vyshnegradskiy "Regulatorlarning umumiy nazariyasi to'g'risida" (1876) va "To'g'ridan-to'g'ri harakatni tartibga soluvchilar to'g'risida" (1877). D.K. Maksvell va I.A. Vyshnegradskiy mashinani (ya'ni ob'ektni) va boshqaruvchini yagona dinamik tizim sifatida ko'rib chiqdi, fizika va dizaynda eng xilma-xil bo'lgan tizimlarni o'rganishga umumiy uslubiy yondashuvni asosladi, barqarorlik nazariyasining asoslarini yaratdi va teskari aloqa nazoratining muhim umumiy qonunlari soni. Tartibga solish nazariyasiga katta hissa qo'shgan N.E. Jukovskiy, "Harakat kuchi to'g'risida" asari va "Mashinalarning harakatini tartibga solish nazariyasi" birinchi darsligi muallifi (1909). XX asrning birinchi o'n yilliklarida. amaliy mexanika doirasidan chiqib ketgan avtomatik boshqaruv nazariyasi umumiy texnik fan sifatida shakllantirilmoqda. Bu davrda nazariyani qo'llashni ko'rib chiqqan va uning xulosalarini turli xil texnik jarayonlarga kengaytirgan bir qator ishlar paydo bo'ldi: elektr mashinalari va tizimlarini tartibga solish; ichki yonuv dvigatellari; issiqlik va bug 'quvvati qurilmalari; turbinalar; turli ishlab chiqarish jarayonlari. 1932 yilda H.Nyquistning ishi paydo bo'ldi, unda u qayta aloqa bilan radiotexnika kuchaytirgichlarining barqarorligi mezonini taklif qildi. Urushdan keyingi davrda avtomatik boshqaruv nazariyasining rivojlanishi juda jadal va ko'p qirrali edi. Bu, birinchi navbatda, harbiy va kosmik texnikaning rivojlanishi, kompyuter texnikasi va elektronikaning jadal rivojlanishi bilan bog'liq. Hozirgi vaqtda atrofimizdagi barcha texnik qurilmalarda bir yoki bir nechta avtomatik regulyatorlar mavjud. Masalan, iste'molchi elektronikasini cheklab, biz faqat ba'zi xarakterli atamalarni sanab o'tamiz: avtomatik daromadni boshqarish; chastotani avtomatik boshqarish; kuchlanishni barqarorlashtirish va boshqalar. Turli xil fizik tabiatli va mutlaqo boshqa funktsional maqsadlarga ega bo'lgan avtomatik boshqaruv tizimlari (ACS) bir xil matematik tavsifga ega bo'lishi mumkin, ya'ni ularni bir xil tenglamalar bilan tavsiflash mumkin (faqat kattaliklarning o'lchamlari farqlanadi). Ammo bir xil matematik tavsifga ega bo'lgan avtomatik boshqaruv tizimida boshqarish jarayonlari bir xil tarzda davom etadi, garchi ularda turli xil fizik miqdorlar harakat qiladi. Boshqaruv jarayonida qanday jarayonlar sodir bo'lishi mumkin? Birinchidan, cheklangan ta'sirni qo'llash natijasida ACS bir muvozanat holatidan ikkinchisiga o'tishi kerak (aks holda u beqaror bo'ladi). Ikkinchidan, bir holatdan yangi holatga o'tish ma'lum vaqt ichida sodir bo'ladi, bu vaqt davomida ACS holatini tavsiflovchi qiymat (yoki qiymatlar) qandaydir qonunga muvofiq o'zgaradi. Uchinchidan, ACSning yangi muvozanat holatiga o'tishi ma'lum bir aniqlik bilan amalga oshiriladi. Ushbu masalalar, shuningdek, ACSning individual parametrlarini boshqarish jarayoniga ta'siri ushbu fanda o'rganiladi. Bundan tashqari, shuni ta'kidlash kerakki, alohida elementlar yoki tizimlarning matematik tavsifini tuzish faqat ushbu ob'ektlarda sodir bo'ladigan jismoniy jarayonlarni va ularning ishlash algoritmlarini aniq tushunish asosida amalga oshirilishi mumkin. Shuning uchun dastlabki matematik tavsifni olish muammosi ushbu elementlar o'rganiladigan maxsus fanlarning predmetiga tegishli. 1 . Nazariy bo'lim 1.1 Laplas o'zgartirish usuli 1.1.1 Asosiy tushunchalar Laplas konvertatsiyasi murakkab o‘zgaruvchining (tasvir) funksiyasini haqiqiy o‘zgaruvchining (original) funksiyasi bilan bog‘laydigan integral transformatsiyadir . U dinamik tizimlarning xossalarini o'rganish va differentsial va integral tenglamalarni yechish uchun ishlatiladi. Ilmiy va muhandislik hisoblarida keng qo'llanilishini oldindan belgilab bergan Laplas konvertatsiyasining xususiyatlaridan biri shundaki, asl nusxadagi ko'plab nisbatlar va operatsiyalar ularning tasvirlaridagi oddiyroq nisbatlarga mos keladi. Haqiqiy o‘zgaruvchining funksiyasini Laplas o‘zgartirishi kompleks o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘lib, shundayki: Bu ifodaning o'ng tomoni Laplas integrali deb ataladi . Kompleks o‘zgaruvchining funksiyasini teskari Laplas o‘zgartirishi haqiqiy o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘lib, shundayki: Qayerda qandaydir haqiqiy raqam. Bu ifodaning o'ng tomoni Bromvich integrali deb ataladi. 1.1.2 Laplas transformlarining xossalari Mutlaq konvergentsiya Agar Laplas integrali s = s 0 da absolyut yaqinlashsa , ya’ni chegara mavjud. u holda u uchun mutlaq va bir xil yaqinlashadi va F ( s ) da analitik funksiya ( s kompleks o zgaruvchining haqiqiy qismidir ). Bu shart bajariladigan s sonlar to‘plamining infimum s a f ( x ) funksiyasi uchun Laplas konvertatsiyasining mutlaq yaqinlashuvining abtsissasi deyiladi. To'g'ridan-to'g'ri Laplas konvertatsiyasining mavjudligi uchun shartlar Laplas konvertatsiyasi mutlaq yaqinlashish ma'nosida quyidagi hollarda mavjud: Case : Agar integral mavjud bo'lsa, Laplas konvertatsiyasi mavjud s > s a holi : agar integral bo'lsa, Laplas konvertatsiyasi mavjud har bir chekli uchun mavjud x 1 > 0 va uchun s > 0 yoki s > s a holi (qaysi chegara katta): s > s a uchun f '( x ) ( f ( x ) ning hosilasi ) funksiyasi uchun Laplas o'zgarishi mavjud bo'lsa, Laplas o'zgarishi mavjud bo'ladi . Eslatma : bu mavjudlik uchun etarli shartlar. Teskari Laplas konvertatsiyasining mavjudligi uchun shartlar Teskari Laplas konvertatsiyasining mavjudligi uchun quyidagi shartlarning bajarilishi kifoya: F ( s ) tasviri analitik funksiya bo‘lsa va −1 dan kichik tartibli bo‘lsa, u uchun teskari o‘zgarish mavjud bo‘ladi va argumentning barcha qiymatlari uchun uzluksiz bo‘ladi va Uchun 2. Mayli
, shunday qilib z k ga nisbatan analitik va uchun nolga teng , Va u holda teskari transformatsiya mavjud bo'ladi va mos keladigan to'g'ridan-to'g'ri transformatsiya mutlaq yaqinlashish abtsissasiga ega. Eslatma : bu mavjudlik uchun etarli shartlar. Konvolyutsiya teoremasi konvolyutsiyasining Laplas konvertatsiyasi ushbu asl nusxalarning tasvirlari mahsulotidir. Rasmni ko'paytirish integral deyiladiDyuhamel , dinamik nazariyasida muhim rol o'ynayditizimlari . Asl nusxani farqlash va birlashtirish Laplasning fikriga ko'ra, argumentga nisbatan asl nusxaning birinchi hosilasi tasvirning ko'paytmasi va ikkinchisining argumenti o'ngdagi noldan asl nusxadir. Keyinchalik umumiy holatda ( lotin n- tartib): Argumentga nisbatan asl integralining Laplas tasviri asl nusxaning argumentiga bo‘lingan tasviridir. Tasvirni farqlash va integratsiya . Argumentga nisbatan tasvir hosilasining teskari Laplas konvertatsiyasi qarama-qarshi belgi bilan olingan asl nusxa va uning argumenti mahsulotidir. Argumentga nisbatan tasvir integralining teskari Laplas konvertatsiyasi bu tasvirning argumentiga bo'lingan asl nusxasidir. Asl nusxalar va tasvirlarni kechiktirish. Limit teoremalari Tasvirning kechikishi: Asl kechikish: Eslatma : u ( x ) - FunktsiyaOg'ir taraf . Boshlang'ich va yakuniy qiymat teoremalari (chegara teoremalari): Barcha qutblar chap yarim tekislikda joylashgan. Cheklangan qiymatlar teoremasi juda foydali, chunki u asl nusxaning cheksizlikdagi xatti-harakatlarini oddiy munosabat bilan tasvirlaydi. Bu, masalan, dinamik tizim traektoriyasining barqarorligini tahlil qilish uchun ishlatiladi . Boshqa xususiyatlar Chiziqlilik Raqamga ko'paytirish 1.2 Vaqtni belgilash Vaqtinchalik xarakteristikalar tizimning chiqish signalining kirishiga ma'lum bir tipik harakat qo'llanilganda vaqtga bog'liqligini anglatadi. TAU ikki turdagi vaqt xususiyatlaridan foydalanadi: - vaqtinchalik javob (o'tkinchi funktsiya); - impulsli javob (vazn funktsiyasi). o'tish funktsiyasi , ba'zan chaqiriladi o'tish jarayoni nazariyalarboshqaruv dinamik tizim javobi shakldagi kiritish harakati bo'yicha Berilgan dastlabki sharoitlarda og'ir vazifalar. Elektronikada vaqtinchalik funktsiya ko'pincha tizimning chiqish signallaridagi o'zgarish sifatida juda qisqa vaqt ichida kirish signalining noldan birgacha o'zgarishiga javob sifatida aniqlanadi. Amaliy nuqtai nazardan, tizimning kirish signalining tez o'zgarishiga qanday munosabatda bo'lishini bilish muhimdir, chunki kirish signalidagi sakrash butun tizim yoki uning ba'zi tarkibiy qismlarining xatti-harakatlariga jiddiy ta'sir ko'rsatishi mumkin. Bundan tashqari, o'tish funktsiyasining shakliga ko'ra, bu haqda hukm qilish mumkin barqarorlik tizim, vaqtinchalik vaqt, ortiqcha qiymat, statik xato va tizimning boshqa dinamik xususiyatlari. Vaqtinchalik javobni bilib, reaktsiyani aniqlash mumkin chiziqli tizim (yoki chiziqli) ixtiyoriy kiritish harakatiga yordamida Duhamel integrali: , qaerda ramziy ma'noda: — konvolyutsiya ikkita funktsiya vaqtga nisbatan ta'sirning hosilasidir. Impulsning vaqtinchalik funktsiyasi ( og'irlik funktsiyasi , impuls javobi ) - dinamikning chiqish signalitizimlari shakldagi kirish signaliga javob sifatida Dirac delta funktsiyalari. Raqamli tizimlarda kirish signali minimal kenglikdagi (diskret tizimlar uchun namuna olish davriga teng) va maksimal amplitudali oddiy pulsdir. 1.3 Chastota javobi Chastota xarakteristikalari kirishdagi garmonik ta'sir tufayli bog'lanishning chiqishidagi barqaror majburiy tebranishlarni tavsiflaydi. Keling, bunday rejimni ko'rib chiqaylik. Bog'lanishning kiritilishiga garmonik harakat qo'llanilsin , bu erda x max - amplituda, ō - bu harakatning burchak chastotasi. Vaqtinchalik jarayonning oxirida, zveno chiqishida kirish tebranishlari bilan bir xil chastotali, lekin odatda amplituda va fazada farq qiluvchi garmonik tebranishlar bo'ladi. Bular. barqaror holatda, havolaning chiqish qiymati , bu erda y max - chiqish barqaror tebranishlarining amplitudasi. Kirish tebranishlarining belgilangan amplitudasi bilan bog'lanishning chiqishidagi barqaror tebranishlarning amplitudasi va fazasi tebranish chastotasiga bog'liq. Agar biz tebranish chastotasini asta-sekin noldan oshirsak va turli chastotalar uchun chiqish tebranishlarining amplitudasi va fazasining barqaror holat qiymatlarini aniqlasak, A = y max / x max amplituda nisbatining chastotaga bog'liqligini olishimiz mumkin . chiqish va kirish barqaror holatdagi tebranishlarning faza siljishi ph. Ushbu bog'liqliklar mos ravishda A(ō) - amplituda chastotali javob (AFC) va ph (ō) - fazali chastotali javob (PFC) deb ataladi. An'anaviy inertial bog'lanishlar uchun ushbu xususiyatlarning taxminiy ko'rinishi 1-rasmda ko'rsatilgan. 3.1, a va b. Ushbu raqamlarda ko'rsatilganidek, bunday bog'lanishlar uchun, ularning inertsiyasi tufayli, chastota ortishi bilan amplituda chastotali javob oxir-oqibat nolga tushadi. Shu bilan birga, havola qanchalik kam inertial bo'lsa, uning amplitudali chastotali javobi qanchalik uzoq bo'lsa, ya'ni. havola orqali o'tadigan chastotalar diapazoni yoki oddiygina, uning o'tkazish qobiliyati qanchalik katta. Nazariy jihatdan, chastota munosabati cheksiz davom etadi, lekin amalda tarmoqli kengligi chastota qiymati bilan baholanadi, bunda amplituda nisbati A = 0,707 bo'ladi va chastotaning yanada ortishi bilan o'zgarmaydi (u -ō oralig'ida deb ishoniladi) P dan +ō P gacha bo'lgan boshqaruv tizimining elementi garmonik signalni uzatadi , sezilarli zaiflashuv yo'q). Tarmoqli kengligi Dō P = 2ō P. Chastota javobida maksimalning mavjudligi bog'lanishning rezonans xususiyatlarini ko'rsatadi. Maksimal amplituda xarakteristikasiga mos keladigan chastota rezonans deb ataladi (ō p ). Kirish signalining daromadi birlik bo'lgan chastotaga kesish chastotasi deyiladi ō c . Fazali chastotali javob turli chastotalarda boshqaruv elementi tomonidan kiritilgan faza siljishlarini ko'rsatadi. Shaklda ko'rsatilganidek, an'anaviy inertial bog'lanishlar uchun. 3.1b, ijobiy ō uchun PFC har doim salbiy (ph < 0), ya'ni. chiqish tebranishlari fazada kirish tebranishlaridan orqada qoladi va bu kechikish chastota bilan ortadi. Oddiy amplitudali va fazali chastotali javoblarni qutbli koordinatalar sifatida A (ō) va ph (ō) dan foydalanib, bitta xarakteristikaga - amplituda - fazali chastotali javobga (APFC) birlashtirish mumkin (3.2-rasm). U murakkab tekislikda qurilgan. OFKning har bir nuqtasi ō chastotasining ma'lum bir qiymatiga mos keladi. Chastota noldan cheksizgacha o'zgarganda barcha nuqtalar to'plami chastotani uzatish funktsiyasi W ( jō ) ga mos keladigan uzluksiz chiziqdir (u godograf deb ataladi) . Cheklangan sonli xarakteristik nuqtalar uchun ō qiymatlari rasmda ko'rsatilganidek, xarakteristikalar bo'ylab chizilgan. 3.2. OFKga ega bo'lgan holda, bu nuqtalardan A(ō) va ph(ō) xarakteristikalarini qurish mumkin. OFK ham ijobiy, ham salbiy chastotalar uchun qurilgan. W ( jō ) dagi ō ni – ō bilan almashtirsak , konjugat kompleks miqdorini olamiz. Shuning uchun manfiy chastotalar uchun AFC haqiqiy o'qqa nisbatan ijobiy chastotalar uchun OFKning oyna tasviridir. Shaklda. 3.2 Salbiy chastotalar uchun fazaviy javob nuqta chiziq sifatida ko'rsatilgan. OFK to'rtburchaklar koordinatalar tizimida - murakkab tekislikda ham qurilishi mumkin. Bunday holda, koordinatalar rasmda ko'rsatilgan. 3.2 A vektorning U va V proyeksiyalari mos keladigan o'qlarga. U ( ō ) va V ( ō ) bog'liqliklari mos ravishda real (real) va xayoliy chastotali javoblar deb ataladi. Kelajakda qisqalik uchun biz "chastota" so'zini turli chastota xarakteristikalari nomidan olib tashlaymiz, shunchaki amplituda xarakteristikasi, fazaviy xarakteristikalar haqida gapiramiz. ACSni o'rganishda logarifmik koordinatalarda amplituda va faza chastotasi xarakteristikalarini chizish qulay. Bu ikki holatga bog'liq. Birinchidan, logarifmik koordinatalarda xarakteristikalar shunday deformatsiyalanadiki, amaliy holatlarning aksariyatida amplituda chastotasi xarakteristikalarini oddiygina singan chiziqlar sifatida tasvirlash mumkin bo'ladi. Ikkinchi qulaylik ketma-ket bog'langan aloqalar zanjirining chastotali javobini qurish bilan bog'liq, ya'ni. logarifmik shkala bo'yicha, zanjirning chastotali javobi alohida bo'g'inlarning amplituda xususiyatlari yig'indisiga teng. Logarifmik koordinatalarda chastota munosabati (3.3-rasm) 20 lg bog'liqlik sifatida qurilgan. lg dan A ō , logarifmik amplituda xarakteristikasi (LAH) deb ataladi va faza - ph ning lg ō ga bog'liqligi ko'rinishida , logarifmik faza xarakteristikasi (LPH) deb ataladi. Hajmi 20 lg A L bilan belgilanadi . Bu miqdorning birligi desibel bo'lib, belaning o'ndan biriga teng. Bel - signal kuchini oshirishning asosiy 10 logarifmining birligi, ya'ni. 1 bel quvvatni 10 marta, 2 bel 100 marta, 3 bel 1000 marta va boshqalarga to'g'ri keladi . Chunki signal kuchi amplitudaning kvadratiga proportsional va lg 2 \u003d 2 lg A , u holda A amplitudalarining nisbati bilan ifodalangan bellardagi daromad 2 lg ga teng. A. _ Shunga ko'ra, desibellarda u 20 lg ga teng A. _ Bunday holda, A va L qiymatlari o'rtasida quyidagi munosabatlar mavjud :
LAH dan foydalanilganda logarifmik faza xarakteristikasi yarim logarifmik koordinatalarda quriladi, ya'ni. ph ning lg ō ga bog'liqligi sifatida , shuning uchun ikkala xususiyat x o'qi bo'yicha bitta shkala bilan bog'liq. Faza xarakteristikasining y o'qi bo'yicha logarifmik shkaladan foydalanish mantiqiy emas, chunki bo'g'inlar zanjirining fazaviy siljishi va shuning uchun u fazalar yig'indisi uning alohida bo'g'inlarida siljishi kabi bo'ladi. lg ō qiymatlarini yoki amalda qulayroq bo'lgan ō chastotasining qiymatlarini ko'rsatadi. Birinchi holda, lg ō o'sish birligi chastotaning 10 barobar o'zgarishiga mos keladigan o'n yildir. X o'qining oktavalarga bo'linishi ham qo'llaniladi. Oktava ikki chastota o'zgarishiga mos keladi. (Bir oktava 0,303 dekadaga teng, chunki lg 2 = 0,303). Shuni ham yodda tuting, chunki logarifmik shkaladan foydalanganda ō=0 ga mos keladigan nuqta cheksizlikda chap tomonda bo'ladi, logarifmik xarakteristikalar nol chastotadan emas, balki koordinataning kesishish nuqtasida chizilgan etarlicha kichik, lekin cheklangan qiymatdan ō quriladi. boltalar. LAH ning abscissa o'qi bilan kesishish nuqtasi kesish chastotasi ō bilan mos keladi . LAH ning yuqori yarim tekisligi A>1 qiymatlariga (amplitudani kuchaytirish), pastki yarim tekislik esa A<1 (amplitudaning susayishi) qiymatlariga mos keladi. Yuqoridagi chastota xarakteristikalari uchun analitik ifodalarni uzatish funktsiyasidan osongina olish mumkin. Agar s = jō ni W ( s ) bog'lanish uzatish funksiyasi ifodasiga almashtirsak, u holda ō ning funksiyasi bo'lgan va amplituda-faza chastotasi (yoki oddiygina chastota) xarakteristikasi bo'lgan W ( jʼn ) kompleks qiymatini olamiz. havola. Uning moduli amplituda chastotali javob A(ō) va argumenti faza chastotasi javobi ph(ō). (3.1) Formula (3.1) uzatish funktsiyasining yuqorida ko'rsatilgan zvenoning chastotali xarakteristikalari bilan kerakli ulanishini aniqlaydi: chastota funksiyasining moduli W ( jō ) A(ō), argumenti esa ph(ō). Agar W ( jō ) ni eksponensial emas, balki algebraik shaklda ifodalasak, ya'ni. , (3.2) u holda bu erda U ( ō ) va V (ō) murakkab tekislikdagi amplituda-faza xarakteristikasining koordinatalari bo'lgan ilgari kiritilgan haqiqiy va xayoliy chastota xarakteristikalari bo'ladi. (3.1) va (3.2) ga muvofiq yuqoridagi chastota xarakteristikalari o'rtasidagi bog'liqlik quyidagicha: Bog'lanishning uzatish funktsiyasidan yuqoridagi chastota xarakteristikalari ifodasini olish tartibi oddiy. O'tkazish funktsiyasi ifodasini almashtirgandan so'ng, biz quyidagilarni olamiz: , R va Q indekslari tegishli kompleks miqdorlarning pay va maxrajdagi qismlarini belgilaydi. Maxrajdagi xayoldan qutulganimizdan so'ng, biz nihoyat: , 2. Hisob-kitob bo‘limi 2.1 Laplas o'zgartirish usuli bilan vaqt xarakteristikalarini topish Berilgan: sistemaning differensial tenglamasi a 2 • y (2) ( t ) + a 1 • y (1) ( t ) + a 0 • y ( t ) = b 1 • u (1) ( t ) + b 0 • y ( t )
Hisoblash uchun talab qilinadi: O'tish h(t) funksiyasi; Impulsning vaqtinchalik s ( t ) funktsiyasi. Yechim: y (2) (t) + 15• y (1) (t) + 50• y(t) = 20• u (1) (t) +50• u(t) x ( t ) hosila funksiyalari uchun Laplas konvertatsiyasini quyidagi formulalar yordamida topish mumkin: L(x (1) (t))=s•X(s) (1) L(x (2) (t))=s 2 •X(s) (2) Bu yerda X ( s ) - x ( t ) funksiyaning Laplas tasviri : X ( s )= L ( x ( t )) (3) Laplas konvertatsiyasini bajaramiz :
L: y (2) (t) + 15• y (1) (t) + 50• y(t) = 20• u (1) (t) +50• u(t) L(y (2) (t))+15L(y (1) (t))+50L(y(t))= 20L(u (1) (t))50L(u(t)). Shunday qilib, Laplas bo'yicha tasvirlardagi tenglama quyidagi shaklni oladi: s 2 Y(s)+15 sY(s)+50Y(s)= 20 sU(s)+50U(s), Bu yerda Y(s)= L(y(t)), U(s)= (u(t)). Tenglamaning chap tomonida Y ( s ), o'ng tomonida U ( s ) ni umumiy omillar sifatida chiqaramiz , biz quyidagilarni olamiz: (s 2 +15s+50)Y(s)=(20s+50)U(s), Qayerda ifoda Y(lar) Y ( s )= • U ( s ), U ( s ) omili oldidagi ifoda tizimning uzatish funktsiyasidir: W ( s ) == . O'tkazish funktsiyasi qutblari W ( s ) s 1 \u003d -5, s 2 \u003d -10, haqiqiy va boshqacha. Y ( s )= • U ( s ), U ( s )= (jadval 1-ilovaga koʻra, kirish signali uchun u ( t )=1( t ) ifodasini almashtirib , U ( s ) tasvirini topamiz. =1/ s , biz olamiz: Y ( s )= . y ( t ) ni topish uchun Y ( s ) funksiyani teskari Laplas aylantirishni bajarish kerak . Ifodaning o'ng tomonini elementar kasrlarga kengaytiramiz: Y(lar)== A +B +C , Y(t)=A •1(t)+B +C ; y(t)= . Numeratorlarda s ning bir xil kuchlaridagi koeffitsientlarni tenglashtirsak , biz algebraik tenglamalar tizimini olamiz: s2 : A+B+C=0 , s 1 : 15A+10B+5C=20, s0 : 50A=50, A , B , C koeffitsientlari bo'yicha . Ushbu tizimni hal qilib, biz topamiz A =1; B =2; C = -3. 1 +2 -3 . Teskari Laplas o'zgarishini Y ( s ) bajarib, biz quyidagilarga erishamiz: y(t)=L -1 (Y(lar))= 1 +2 -3 = 2 - 3 . Signal u ( t )= d ( t ) uchun tasvir U ( s )=1 ga teng. Y ( s )= , O'ng tomondagi kasrni jadvalli ifodalarga kengaytirib, biz quyidagilarni olamiz: Y(lar)= A + B , Y(t)=A B ; y(t)= Numeratorlarda s ning bir xil kuchlaridagi koeffitsientlarni tenglashtirsak , biz algebraik tenglamalar tizimini olamiz: s 1 : A + B \u003d 20, s0 : 10 A +5 B =50 , A , B koeffitsientlari bo'yicha . Ushbu tizimni hal qilib, biz topamiz A =-50; B =30. -50 +30 . Teskari Laplas o'zgarishini Y ( s ) bajarib, biz quyidagilarga erishamiz: y(t)=L -1 (Y(lar))= -50 +30 = -50 +30 . 2.2 Chastota javobini topish Berilgan: Qayerda Keng qamrovli chastota funktsiyasi: Chastota javobining ifodasi iloji boricha soddalashtirilgan bo'lishi kerak, buning uchun biz qavslarni ochamiz va shunga o'xshash shartlarni beramiz. Biz olamiz: Biz uzatish funktsiyasini almashtirishni amalga oshiramiz Maxrajdagi haqiqiy va xayoliy qismlarni ajrating Natijada , murakkab chastotali javob ifodasi quyidagi shaklni oladi: Haqiqiy va xayoliy chastota xarakteristikalarini topish uchun ifodaning maxrajidagi xayoliy birlikdan qutulish kerak. Buning uchun kasrning sonini va maxrajini maxrajga qo'shuvchi ko'paytmaga ko'paytiramiz. Olingan kasr ikki kasr sifatida ifodalanishi mumkin Birinchi kasr haqiqiy xarakteristik P, ikkinchisi xayoliy Q Amplituda-chastota xarakteristikasi topilsin . Faza-chastota xarakteristikasini topamiz. Arctg g'alati funktsiya bo'lganligi sababli , minusni qavslardan olib tashlashingiz mumkin Javob:
Xulosa
Ushbu maqolada Laplas o'zgartirish usuli haqida umumiy nazariy ma'lumotlar, vaqt xususiyatlari ko'rib chiqildi, shuningdek, keltirilgan misollar yordamida maxsus holatlar tahlil qilindi. Foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati Besekerskiy V.A., Popov E.P. Avtomatik boshqaruv tizimlari nazariyasi, uchinchi nashr, qayta ko'rib chiqilgan. Moskva, "Nauka" nashriyoti, Fizika-matematika adabiyotining bosh nashri, 1995 yil. Zaitsev G. F. Avtomatik boshqaruv va tartibga solish nazariyasi - 2-nashr, Qayta ko'rib chiqilgan. va qo'shimcha Kiev, Vyshcha Shkola nashriyoti bosh nashriyot uyi, 2004 yil. Kim D.P. Avtomatik boshqaruv nazariyasi. T. 1. Chiziqli sistemalar. - M.: FIZMATLIT, 2003. - 288 b. - ISBN 5-9221-0379-2. Kim D.P. Avtomatik boshqaruv nazariyasi. V. 2. Ko'p o'lchovli, chiziqli bo'lmagan, optimal va moslashuvchan tizimlar: Proc. nafaqa. - M.: FIZMATLIT, 2004. - 64 b. - ISBN 5-9221-0534-5. Parshukov A.N. “Avtomatik boshqarish nazariyasi” fanidan laboratoriya ishlarini bajarish uchun uslubiy ko’rsatmalar; Tsogu 2011 yil. e'lon qilingan Allbest.ru saytida Download 322.25 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||