Legendre polinomlari

Legendre polinomlari uchun qo‘shish teoremasi quyidagidan iborat: Pn(cos γ) = 4π 2n + 1 m ∑=n m=−n Y m n (θ1, φ1)Y ∗m n (θ2, φ2). (78) Buni isbot qilish uchun Pn(cos γ) ni (θ1, φ1) burchaklar bo‘yicha (73)-qatorga yoyamiz: Pn(cos γ) = ∑ ∞ n′=0 m=n ∑′ m=−n′ An′m(θ2, φ2)Y ′m n (θ1, φ1). Bu yoyilmada (θ2, φ2) burchaklar parametr sifatida qaralyapti. Qatorda haqiqatda faqat n ′ = n hadgina qoladi, aks holda ifodaning chap va o‘ng tomonlari har-xil juftlikka ega bo‘lib qolishi mumkin: Pn(cos γ) = m ∑=n m=−n Anm(θ2, φ2)Y m n (θ1, φ1). 30 Koeffisientlar quyidagicha aniqlanadi: Anm(θ2, φ2) = ∫ Y m∗ n (θ1, φ1)Pn(cos γ) dΩθ1,φ1 . Bu formulaga (76)-ni ishlatsak Anm(θ2, φ2) = 4π 2n + 1 Y m∗ n (θ1(γ, ψ), φ1(γ, ψ)) γ=0 = 4π 2n + 1 Y m∗ n (θ2, φ2) ekanligi kelib chiqadi. Shu bilan qo‘shish teoremasi (78) isbot qilindi.
Kvant mexanikasida impuls momenti Bu paragraf asosiy tekstga kirmaydi, uni 6.1-paragrafdan keyin o‘qish tavsiya etiladi. Impuls momenti quyidagicha ta’riflanadi: L = [rp], bu yerda p = −ih¯∇. Impuls momentining komponentalari: Lx = −ih¯ ( y ∂ ∂z − z ∂ ∂y) , Ly = −ih¯ ( z ∂ ∂x − x ∂ ∂z) , Lz = −ih¯ ( x ∂ ∂y − y ∂ ∂x) . Momentning kvadrati: L 2 = L 2 x + L 2 y + L 2 z . Momentning kvadratini sferik sistemada ifodalaylik. Buning uchun x, y, z va r, θ, φ larni bog‘laydigan formulalarni olish kerak: x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ, r = √ x 2 + y 2 + z 2 , θ = arccos z r , φ = arctan y x . Shulardan foydalanib ∂/∂x ni hisoblaylik. Birinchidan: ∂ ∂x = ∂r ∂x ∂ ∂r + ∂θ ∂x ∂ ∂θ + ∂φ ∂x ∂ ∂φ. Ikkinchidan, ∂r ∂x = x r = sin θ cos φ, ∂θ ∂x = 1 r cos θ cos φ, ∂φ ∂x = − sin φ r sin θ 33 Demak, ∂ ∂x = sin θ cos φ ∂ ∂r + 1 r cos θ cos φ ∂ ∂θ − sin φ r sin θ ∂ ∂φ. Quyidagilarni ham xuddi shunday yo‘l bilan topish mumkin: ∂ ∂y = sin θ sin φ ∂ ∂r + 1 r cos θ sin φ ∂ ∂θ + cos φ r sin θ ∂ ∂φ; ∂ ∂z = cos θ ∂ ∂r − 1 r sin θ ∂ ∂θ . Bu formulalar yordamida harakat miqdori momenti operatori L komponentalarining sferik sistemadagi ifodalarini topamiz: Lx = ih¯ [ sin φ ∂ ∂θ + ctg θ cos φ ∂ ∂φ] ; Ly = −ih¯ [ cos φ ∂ ∂θ − ctg θ sin φ ∂ ∂φ] . Lz = −ih¯ ∂ ∂φ. Olingan formulalardan foydalanib impuls momentining kvadrati quyidagi ifodaga tengligini ko‘rsatish qiyin emas: L 2 = L 2 x + L 2 y + L 2 z = −h¯ 2 [ 1 sin θ ∂ ∂θ ( sin θ ∂ ∂θ) + 1 sin2 θ ∂ 2 ∂φ2 ] . Laplace operatorining sferik sistemadagi ifodasi (54)-dagi ∆θ,φ = 1 sin θ ∂ ∂θ ( sin θ ∂ ∂θ) + 1 sin2 θ ∂ 2 ∂φ2 (79) qism Laplace operatorining burchak qismi deyiladi. Demak, L 2 = −h¯ 2∆θ,φ. (56)-tenglamani olingan ma’lumotlar asosida L 2Y (θ, φ) = ¯h 2 λY (θ, φ) ko‘rinishga keltirish mumkin. Bu esa harakat miqdori momenti operatori kvadrati uchun xususiy qiymatlar masalasidir, bu masala §2.7.-paragrafda yechilgan, uning yechimi (64)- formula orqali ifodalanadi. Demak, L 2Y (θ, φ) = ¯h 2n(n + 1)Y (θ, φ), n = 0, 1, 2, ...
Rekurrent munosabatlar Rekurrent munosabatlarga o’taylik. ∂ ∂tg(x, t) = (−2t+2x)e −t 2+2xt = (−2t+2x) ∑ ∞ n=0 Hn(x) t n n! = ∑ ∞ n=0 Hn(x) t n−1 (n − 1)!. Bu tenglikdan Hn+1(x) = 2xHn(x) − 2nHn−1(x) (82) rekurrent munosabatga kelamiz. ∂ ∂xg(x, t) = 2te−t 2+2xt = 2∑ ∞ n=0 Hn(x) t n+1 n! = ∑ ∞ n=0 H ′ n (x) t n n! , yoki, 2nHn−1(x) = H ′ n (x). (83) Ikkita rekurrent munosabatni topdik: (82) va (83). 11Charle Hermite (1822-1901) - fransuz matematigi. Rus tilida - Шарль Эрмит 35