Лекции основные понятия Вычисление интегралов от функций комплексного переменного

Следствия из последной теоремы
1. При выполнении условий теоремы интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним; обход на всех контурах в одну сторону (на рис. 2.48,  ):


(11)
2. Если  является аналитической в односвязной области  и на границе области, за исключением, быть может, точки  этой области, то интегралы по различным замкнутым кривым, которые лежат в области  и ограничивают области, содержащие точку  , равны между собой (рис. 2.49):



(2.56)
Доказательство очевидно, поскольку каждый такой контур можно рассматривать как внутреннюю границу двусвязной области, внешней границей которой является граница области  . В соответствии с формулой (2.55) при  любой такой интеграл равен интегралу по границе  .
Сравнение формулировок теоремы 2.2 и следствия 1 из теоремы 2.1 позволяет сделать обобщение, которое запишем в виде следующего утверждения.
Утверждение . Если аналитическая в  , то

где  — граница области  (простой или сложный контур).
Интегральная формула Коши
В следующей теореме, в отличие от двух предыдущих, рассматривается интеграл от функции, которая, не являясь аналитической в области, ограниченной контуром интегрирования, имеет специальный вид.
Теорема. Если функция  является аналитической в области  и на ее границе  , то для любой внутренней точки  области  имеет место равенство
(12)
Область  может быть односвязной или многосвязной, а граница области -простым или сложным контуром.
Доказательство для случая односвязной области опирается на результат теоремы1, а для многосвязной — приводится к случаю односвязных областей (как при доказательстве теоремы2) путем проведения разрезов, не проходящих через точку  .
Следует обратить внимание на то, что точка а не принадлежит границе области и поэтому подынтегральная функция является непрерывной на  и интеграл существует.
Теорема представляет собой важный прикладной интерес, а именно по формуле (12) решается так называемая краевая задача теории функций: по значениям функции на границе области определяется ее значение в любой внутренней точке.