Лекции основные понятия Вычисление интегралов от функций комплексного переменного

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ПЛАН ЛЕКЦИИ

1. 
   Основные понятия
   
2. 
   Вычисление интегралов от функций комплексного переменного
   
3. 
   Основная теорема Коши для простого контура
   
4. 
   Теорема Коши для сложного контура
   
5. 
   Интегральная формула Коши
   

Ключевые слова и словосочетания: функции комплексного переменного, простой контур, сложный контур, интеграл от функций комплексного переменного, гладкая и кусочно-гладкая функции.
1. Понятие интеграла от функции комплексного переменного вводится (так же, как и в действительной области) как предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой  , кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:
(1)
где  -точка, выбранная на дуге разбиения кривой;  -приращение аргумента функции на этом участке разбиения, - шаг разбиения,  — длина хорды, соединяющей концы дуги  ; кривая разбивается произвольным образом на частей . На кривой выбрано направление, т.е. указаны начальная и конечная точки. В случае замкнутой кривой 

интегрирование происходит в положительном направлении, т.е. в направлении, оставляющем слева конечную область, ограниченную контуром.
Формула (1) определяет криволинейный интеграл от функции комплексного переменного. Если выделить действительную и мнимую части функции , т.е. записать ее в виде

то интегральную сумму можно записать в виде двух слагаемых, которые будут являться интегральными суммами криволинейных интегралов второго рода от функций двух действительных переменных. Если предположить непрерывной на , то будут также непрерывны на , и, следовательно, будут существовать пределы соответствующих интегральных сумм. Поэтому, если функция непрерывна на , то предел в равенстве (2.43) существует, т.е. существует криволинейный интеграл от функции по кривой  и имеет место формула
(2)
Используя определение интеграла или формулу (2) и свойства криволинейных интегралов второго рода, нетрудно убедиться в справедливости следующих свойств криволинейного интеграла от функций комплексного переменного (свойства, известные из действительного анализа).

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   

в частности, , если функция ограничена по модулю на кривой  , то есть . Это свойство называется свойством оценки модуля интеграла.

Формулу (2.44) можно рассматривать и как определение криволинейного интеграла от функции комплексного переменного, и как формулу его вычисления через криволинейные интегралы второго рода от функций двух действительных переменных.
Для использования и запоминания формулы вычисления отметим, что равенству (2.44) соответствует формальное выполнение в левой части под знаком интеграла действий выделения действительной и мнимой части функции , умножения на и записи полученного произведения в алгебраической форме:



Пример 1. Вычислить интегралы и , где линия 
а) отрезок прямой, соединяющей точки  и  ,
б) ломаная  , где  .