Лекции основные понятия Вычисление интегралов от функций комплексного переменного

Решение
В следующем пункте рассмотрим подробнее подобные случаи интегрирования.
2. Пусть интеграл от непрерывной функции в некоторой области не зависит от вида кривой, соединяющей две точки этой области. Зафиксируем начальную точку, обозначив  . конечная точка — переменная, обозначим ее  . Тогда значение интеграла будет зависеть только от точки  , то есть определяет некоторую функцию в указанной области.
Ниже будет дано обоснование утверждения, что в случае односвязной области интеграл определяет в этой области однозначную функцию. Введем обозначение
(3)
Функция - интеграл с переменным верхним пределом.
Используя определение производной, т.е. рассматривая 
,
нетрудно убедиться, что имеет производную в любой точке области определения, а следовательно, является в ней аналитической. При этом для производной получим формулу
(4)
Производная интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции при верхнем пределе.
Из равенства (4), в частности, следует, что подынтегральная функция в (3) является аналитической функцией, так как производная  аналитической функции функция аналитическая.
3. Функция , для которой выполняется равенство (4), называется первообразной для функции в односвязной области, а совокупность первообразных , где  , — неопределенным интегралом от функции .
Из пунктов 2 и 3 получаем следующее утверждение.
Утверждение

1. 
   Интеграл с переменным верхним пределом
   

от аналитической в односвязной области функции есть функция, аналитическая в этой области; эта функция является первообразной для подынтегральной функции.
2. Любая аналитическая в односвязной области функция имеет в ней первообразную (существование первообразной).
Первообразные аналитических функций в односвязных областях отыскиваются, как и в случае действительного анализа: используются свойства интегралов, таблица интегралов, правила интегрирования.
Например, .
Между криволинейным интегралом от аналитической функции и ее первообразной в односвязной области имеет место формула, аналогичная формуле Ньютона-Лейбница из действительного анализа:
(5)
4. Как и в действительном анализе, в комплексной области рассматриваются, кроме интегралов, содержащих параметр в пределах интегрирования (формула (3) дает простейший пример таких интегралов), интегралы, которые зависят от параметра, содержащегося в подынтегральной функции: 
.
Среди таких интегралов важное место в теории и практике комплексного интегрирования и приложениях занимает интеграл вида
.
Полагая  непрерывной на линии  , получаем, что для любой точки  , не принадлежащей  , интеграл существует и определяет в любой области, не содержащей  , некоторую функцию
(6)
Интеграл (6) называется интегралом типа Коши; множитель  введен для удобства использования построенной функции.
Для этой функции, как и для функции, определяемой равенством (3), доказывается, что она является аналитической всюду в области определения. Причем в отличие от интеграла (3) здесь не требуется, чтобы порождающая функция  была аналитической, т.е. по формуле (6) на классе непрерывных функций комплексного переменного строится класс аналитических функций. Производная интеграла (6) определяется по формуле


(7)
Для доказательства формулы (7) и, следовательно, утверждения об аналитичности интеграла типа Коши достаточно, согласно определению производной, установить справедливость неравенства

для любого  и при любом из области определения функции .
Таким же методом можно показать, что существует производная от функции, определяемой равенством (7), т.е. , и справедлива формула

Процедуру можно продолжить и доказать по индукции формулу для производной любого порядка от функции  .
(8)

Анализируя формулы (6) и (7), нетрудно убедиться, что производную можно получить формально, производя дифференцирование по параметру под знаком интеграла в (6):

Применяя формально правило дифференцирования интеграла, зависящего от параметра  раз, получим формулу (8).
Результаты, полученные в этом пункте, запишем в виде утверждения.