Лекции основные понятия Вычисление интегралов от функций комплексного переменного

Следствия из теоремы
1. Теорема справедлива и в случае, если - граница области  , а функция является аналитической в области и на границе, т.е. в  , так как, согласно определению, аналитичность в предполагает аналитичность функции в некоторой области  , содержащей , а  при этом будет внутренним контуром в  .


2. Интегралы по различным кривым, лежащим в односвязной области аналитичности функции и соединяющим две точки этой области, равны
между собой, т.е. , где  и  -- произвольные кривые, соединяющие точки и  (рис. 2.46).
Для доказательства достаточно рассмотреть контур  , состоящий из кривой  (от точки к точке  ) и кривой (от точки к точке ). Свойство можно сформулировать следующим образом. Интеграл от аналитической функции не зависит от вида кривой интегрирования, соединяющей две точки области аналитичности функции и не выходящей из этой области.
Это дает обоснование данного выше утверждения 2.25 о свойствах интеграла

и о существовании первообразной аналитической функции.
Теорема Коши для сложного контура
Теорема 2. (теорема Коши для сложного контура). Если функция является аналитической в многосвязной области, ограниченной сложным контуром, и на этом контуре, то интеграл по границе области от функции равен нулю, т.е., если  — сложный контур — граница области, то справедлива формула (2.54).
Сложный контур  для - связной области состоит из внешнего контура  и внутренних - ; контуры попарно не пересекаются, обход границы — положительный (на рис.2.47,  ).
Для доказательства теоремы 2.2 достаточно провести в области разрезы (на рис. 2.47 пунктир) так, чтобы получились две односвязные области и воспользоваться теоремой 2.1.