Лекции основные понятия Вычисление интегралов от функций комплексного переменного

3. Подставить в подынтегральное выражение, преобразовать интеграл



4. Вычислить полученный в п.3 определенный интеграл от комплекснозначной функции действительной переменной.
Заметим, что интегрирование комплекснозначной функции действительной переменной не отличается от интегрирования действительнозначной функции; единственным отличием является наличие в первом случае множителя  , действия с которым, естественно, рассматриваются, как с постоянной. Например,

Третий способ. Вычисление интегралов от аналитических функций в односвязных областях — применение формулы (5).
1. Найти первообразную  , используя свойства интегралов, табличные интегралы и методы, известные из действительного анализа.
2. Применить формулу (5):
.
Замечания
1. В случае многосвязной области проводятся разрезы так, чтобы можно было получить однозначную функцию  .
2. При интегрировании однозначных ветвей многозначных функций ветвь выделяется заданием значения функции в некоторой точке кривой интегрирования. Если кривая замкнутая, то начальной точкой пути интегрирования считается та точка, в которой задано значение подынтегральной функции. Значение интеграла может зависеть от выбора этой точки.
В теории и практике, в приложениях интегрального исчисления функций комплексного переменного, при исследовании поведения функций в ограниченных областях или в окрестностях отдельных точек рассматриваются интегралы по замкнутым кривым — границам областей, в

частности окрестностей точек. Будем рассматривать интегралы , где  — аналитическая в некоторой с области, за исключением отдельных точек,  — граница области или внутренний контур в этой области.
Основная теорема Коши для простого контура
Теорема1. (теорема Коши для простого контура). Если  аналитическая в односвязной области, то для любого контура  , принадлежащего этой области, справедливо равенство
(10)
Доказательство теоремы нетрудно получить, опираясь на свойство аналитических функций, согласно которому аналитическая функция имеет производные любого порядка. Это свойство обеспечивает непрерывность частных производных от  и  , поэтому, если использовать формулу (2), то легко видеть, что для каждого из подынтегральных выражений в криволинейных интегралах второго рода выполняются условия полного дифференциала, как условия Коши-Римана аналитических функций. А интегралы по замкнутым кривым от полных дифференциалов равны нулю.


Заметим, что все теоретические положения, излагаемые ниже, опираются в конечном счете на эту важную теорему, в том числе и упомянутое выше свойство аналитических функций. Чтобы не было сомнения в корректности изложения, заметим, что теорема может быть доказана без ссылки на существование ее производных только на основании определения аналитической функции.