Лекция – 12. Гидроаэродинамика

Уравнение Бернулли. При стационарном течении жидкости в выделенной части трубки энергия не накапливается и не расходуется (Рис. 73). Следовательно, энергия, передаваемая через сечение за время равна энергии, передаваемой через сечение за то же время, т.е. при стационарном течении жидкости её энергия сохраняется.
Кинетическая и потенциальная энергии массы m , прошедшей через сечение равны и . Следовательно, энергия, переносимая конвективно через сечение за время равна


,
учитывая, что эту же энергию запишем в виде

Кроме конвективной передачи энергии имеет место ещё и передача энергии тягой, т.е. жидкость, находящаяся позади производит работу, действуя не данный объём жидкости силой на пути и эта работа равна

.

Энергию, переносимую через сечение , за время запишем в виде суммы

Такая же энергия передаётся через сечение за время . Поэтому имеет место равенство

. Сокращая на , получим уравнение Бернулли:


, которое можно записать в виде

Уравнение Бернулли является следствием сохранения механической энергии при стационарном течении жидкости.

Если трубка расположена горизонтально, то и уравнение Бернулли принимает вид


.
В этом уравнении статическое давление жидкости, скоростной напор, сумма этих величин называется полным давлением . Поэтому уравнение Бернулли можно записать ещё в виде
.



9.Формула Торичелли. Пусть цилиндрический сосуд с площадью сечения заполнен жидкостью до высоты . Плотность жидкости Из отверстия с площадью сечения на высоте жидкость вытекает со скоростью (Рис.74). Открытая поверхность жидкости в сосуде опускается со скоростью .

Для сечений и запишем уравнение Бернулли

Здесь и - статические давления, т.е. давления атмосферы на уровнях и .
Пренебрегая изменением атмосферного в пределах высоты столба жидкости, т.е. полагая , и сокращая на , получим


.
Площадь свободной поверхности жидкости много больше площади сечения отверстия Следовательно, согласно уравнению неразрывности . Пренебрегая в левой части последнего равенства вторым слагаемым запишем


и далее легко получим формулу Торричелли для скорости истечения жидкости из отверстия сосуда

10.