Лекция 12. Алгоритм разложения цифровой информации в ряды Фурье. Оценка надежности

2. Разложение функции в ряд Фурье на промежутке
Рассмотрим некоторую функцию , которая определена по крайне мере на промежутке (а, возможно, и на большем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье:
, где – так называемые коэффициенты Фурье.
При этом число называют периодом разложения, а число полупериодом разложения.
Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:

Действительно, распишем его подробно:

Нулевой член ряда принято записывать в виде .
Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:

Прекрасно понимаю, что начинающим изучать тему пока малопонятны новые термины: период разложения, полупериод, коэффициенты Фурье и др. Во всём разберёмся в ближайшем примере, перед выполнением которого логично задаться насущными практическими вопросами:
По существу, нужно найти коэффициенты Фурье , , то есть, составить и вычислить три определённых интеграла.
Пример 2. Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке .
Решение: разложение функции в ряд Фурье.
В данной задаче период разложения , полупериод .
Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке . :

Используя соответствующие формулы, найдём коэффициенты Фурье. Теперь нужно составить и вычислить три определённых интеграла. Для удобства я буду нумеровать пункты:

1. 
   Первый интеграл самый простой, однако и он уже требует глаз да глаз:
   

2. 
   Используем вторую формулу:
   

Данный интеграл хорошо знаком и берётся он по частям:

При нахождении использован метод подведения функции под знак дифференциала.
В рассматриваемом задании сподручнее сразу использовать формулу интегрирования по частям в определённом интеграле :

3. 
   Ищем третий коэффициент Фурье:
   

Получен родственник предыдущего интеграла, который тоже интегрируется по частям:

Этот экземпляр чуть сложнее, закомментирую дальнейшие действия пошагово:

(1)
Наконец-то найдены все три коэффициента Фурье:

Подставим их в формулу :

Таким образом, мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке :

Во второй части задачи требуется изобразить график.
График функции представляет собой обычную прямую на плоскости, которая проведена чёрным пунктиром: