Лекция 12. Алгоритм разложения цифровой информации в ряды Фурье. Оценка надежности

3.Разложение функции в ряд Фурье на произвольном периоде
Для произвольного периода разложения , где – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса:

Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали.
Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений:
Пример 2
Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы.

Решение: разрыв 1-го рода в точке . В данной задаче период разложения , полупериод . Функция определена только на полуинтервале , но это не меняет дела – важно, что оба куска функции интегрируемы.
Разложим функцию в ряд Фурье:

Поскольку функция разрывная в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:

1. 
   Первый интеграл распишем максимально подробно:
   

2)

Второй интеграл берём по частям:

2. 
   Учитывая неоднократно упоминавшиеся слабые звенья, разбираемся с третьим коэффициентом:
   

Интегрируем по частям:

Подставим найденные коэффициенты Фурье в формулу , не забывая поделить нулевой коэффициент пополам:

Построим график суммы ряда. Кратко повторим порядок действий: на интервале строим прямую , а на интервале – прямую . При нулевом значении «икс» ставим точку посередине «скачка» разрыва и «тиражируем» график на соседние периоды:

На «стыках» периодов сумма также будет равна серединам «скачка» разрыва .
Готово. Напоминаю, что сама функция по условию определена только на полуинтервале и, очевидно, совпадает с суммой ряда на интервалах
Ответ:
Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Простейший образец: .
Решение. такое же, как и двух предыдущих примерах: несмотря на непрерывность функции в точке , каждый коэффициент Фурье выражается суммой двух интегралов.
На промежутке разложения точки разрыва 1-рода и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности.
Пример 3
Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке и построить график суммы ряда.
В данной задаче функция непрерывна на полуинтервале разложения, что упрощает решение. Всё очень похоже на Пример № 2. С космического корабля никуда не деться – придётся решать =) Примерный образец оформления в конце урока, график прилагается.
4.Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций
С чётными и нечётными функциями процесс решения задачи заметно упрощается. И вот почему. Вернёмся к разложению функции в ряд Фурье на периоде «два пи» и произвольном периоде «два эль» .
Предположим, что наша функция чётна. Общий же член ряда, как вы видите, содержит чётные косинусы и нечётные синусы. А если мы раскладываем ЧЁТНУЮ функцию, то зачем нам нечётные синусы?! Давайте обнулим ненужный коэффициент: .
Таким образом, чётная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам:

Поскольку интегралы от чётных функций по симметричному относительно нуля отрезку интегрирования можно удваивать, то упрощаются и остальные коэффициенты Фурье.
Для промежутка :

Для произвольного промежутка:

К хрестоматийным примерам, которые есть практически в любом учебнике по матанализу, относятся разложения чётных функций . Кроме того, они неоднократно встречаются в практике:
Пример 4
Дана функция . Требуется:
1) разложить функцию в ряд Фурье с периодом , где – произвольное положительное число;
2) записать разложение на промежутке , построить функцию и график полной суммы ряда .
Решение: в первом пункте предлагается решить задачу в общем виде, и это очень удобно! Появится надобность – просто подставьте своё значение.
1) В данной задаче период разложения , полупериод . В ходе дальнейших действий, в частности при интегрировании, «эль» считается константой
Функция является чётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам: .
Коэффициенты Фурье ищем по формулам . Обратите внимание на их безусловные преимущества. Во-первых, интегрирование проводится по положительному отрезку разложения, а значит, мы благополучно избавляемся от модуля , рассматривая из двух кусков только «икс». И, во-вторых, заметно упрощается интегрирование.
Раз:

Два:

Интегрируем по частям:


Таким образом:
, при этом константу , которая не зависит от «эн», выносим за пределы суммы.
Ответ:
2) Запишем разложение на промежутке , для этого в общую формулу подставляем нужное значение полупериода :

В данном случае сумма ряда непрерывна, и, разумеется, чётна. Построение графика вряд ли нуждается в комментариях:

Хотел ещё построить частичную сумму , но её график практически совпал с «красной пилой» – настолько хорошо уже такое малое количество слагаемых приближает полную сумму.
Ответ:
Думаю, все представили, как «водят хороводы» параболы при разложении функции . И, чтобы никому не было обидно, я прикреплю этот пример к дополнительным материалам.
Если – нечётная функция, то в разложениях Фурье , оказываются лишними чётные косинусы, из чего следует равенство . Более того, коэффициент тоже равен нулю, в чём легко убедиться аналитически: интеграл от нечётной функции по симметричному относительно нуля отрезку равен нулю: .
Таким образом, нечётная функция раскладывается в ряд Фурье только по синусам:
на промежутке или на произвольном периоде.
При этом необходимо вычислить единственный коэффициент Фурье:
или соответственно.
Небольшая миниатюра для самостоятельного решения:
Пример 7
Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы ряда не менее чем на трёх периодах

Решение и ответ в конце урока.
Разложение чётной функции часто маскируют типовой формулировкой, пример:
Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам на промежутке .
Если по условию не нужно чертежа, тихой сапой применяем формулы и даём ответ в виде . Про чётность можно скромно умолчать ;-)
Но если дополнительно требуется построить график суммы, то необходимо понимать следующее: разложение по косинусам отобразит отрезок прямой (чёрная линия) чётным образом (симметрично относительно оси ) на интервал (зелёная линия), и, очевидно, функция будет иметь непрерывный пилообразный график:

В ряде случаев симметричное продолжение функции надо записать аналитически. Начинающим рекомендую графический метод: сначала на промежутке чертим отрезок прямой , затем, симметрично относительно оси ординат – его «зелёного» коллегу. Находим уравнение прямой , которая содержит зелёный отрезок (устно, или, например, по двум точкам).

Таким образом, эта же задача может быть сформулирована по-другому:
Разложить функцию в ряд Фурье.
Кстати, эта интерпретация вообще коварно умалчивает о чётности функции и может наказать двойным объёмом работы по общим формулам ;-) Поэтому в случае подозрительной похожести кусков функции (а чайникам – в любом случае!) имеет смысл сразу же изобразить её на чертеже.
Условие чётности нетрудно проверить и аналитически. В левую часть функции подставляем «минус икс»: – в результате чего «на выходе» получаем правую часть.
Аналогично вуалируется нечётность:
Разложить функцию в ряд Фурье по синусам на промежутке .
Если чертёж не нужен, ищем коэффициент и записываем ответ в виде . О нечётности снова молчок ;-) Однако в любом случае полезно знать следующее: разложение по синусам отобразит отрезок прямой (чёрная линия) нечётным образом (симметрично относительно начала координат) на интервал (зелёная линия). И внимательный читатель статьи без труда изобразит график суммы ряда:

Составим уравнение «зелёного» продолжения (например, по предложенному в предыдущем пункте алгоритму) и перепишем задачу в эквивалентной формулировке:
Разложить функцию в ряд Фурье.
Выглядит опять провокационно, и если вам встретилось похожее условие, то сначала постройте график функции и изучите его на предмет симметрии – чтобы не пришлось использовать общие формулы разложения.
Проверим условие нечётности аналитически, для этого в левый кусок функции подставляем «минус икс»:

в результате чего «на выходе» получается правый кусок с противоположным знаком.
Вот, пожалуй, и все основные сведения о рядах Фурье, которых должно хватить для решения многих практических примеров. Надо сказать, что материал был непростой, причём изложить его доступно тоже было далеко не просто.