Лекция-16. I ҳәм II –тур меншиксиз интеграллар. Меншиксиз интеграллардың жыйнақлылығы

Лекция-16. I ҳәм II –тур меншиксиз интеграллар. Меншиксиз интеграллардың жыйнақлылығы
Шегаралары шексиз меншиксиз интеграллардың жыйнақлылығы.

Оң функциялардың интеграллары ушын төмендеги {салыстырыў теоремасы} жийи қолланылады.

Теорема 1. Мейли кесиндиде қәлеген болғанда ҳәм функциялары интегралланыўшы болып, болсын.
Онда`
1) егерде жыйнақлы болса, онда да жыйнақлы болады~
2) егерде таралыўшы болса, онда да таралыўшы болады.
Дәлиллениўи. Мейли жыйнақлы болсын. Онда қәлеген болғанда мынаған ийе боламыз`
.
Демек, да оң функциядан алынған өсиўши болып, жоқарыдан шегараланған. Соның ушында ол шекке ийе болады. Ал бул болса жыйнақлы деген сөз.
Теореманың екинши бөлими керисинен алып талқыласақ аңсат дәлилленеди.
Теорема 1. диң салдары ретинде төмендеги теорема пайдалы ҳәм жийи қолланылады.
Теорема 2. Егер
=К
шек бар болса, онда интегралының жыйнақлылығы-нан болғанда интегралының жыйнақлылығы келип шығады, ал биринши интегралдың таралыўшылығынан болғанда екиншисиниң таралыўшылығы келип шығады (сондай-ақ, болғанда, интегралдың екеўи бирдей жыйнақлы ямаса екеўи бирдей таралыўшы болады).
Мына төмендеги белги интегралдың жыйнақлы яки таралыўшылығының салыстырыў белгисине тийкарланған дара белгиси болып табылады.
Жеткиликли 6лкен х лар ушын функциясының т6ри

көринисте болсын. Онда`
1) егер ҳәм болса, онда жыйнақлы болады,
2) егерде ҳәм болса, онда бул интеграл таралыўшы болады.

Дәлиллеў ушын теоема 1 ди пайдаланыў керек` салыстырылатуғын функциямыз болады.

интегралдың улыўма жағдайда жыйнақлылық шәртин мына түрде айтыўға болады`

Егер оң функция (терис емес) болса, онда

интегралы А өзгериўшиниң монотон өсиўши функциясы болады.
меншиксиз интеграл жыйнақлы болыўы ушын ҳәр бир саны ушын ылайықлы саны табылып, ҳәм болғанда

теңсизликтиң орынланыўы зәрүр ҳәм жеткиликли.
Бул критерийди пайдаланып мына пикирди айтыўға болады`
Егер интегралы жыйнақлы болса, онда интегралы да сөзсиз жыйнақлы болады. Ҳақыйқаттанда, интегралы жыйнақлы деп уйғарып, оған жоқарыдағы критерийди қоллансақ

теңсизлиги орынланады. Бирақ

екенлиги айқын, сонлықтан .
Егерде интегралы жыйнақлы болса, онда интегралы абсолют жыйнақлы делинеди.