Лекция-16. I ҳәм II –тур меншиксиз интеграллар. Меншиксиз интеграллардың жыйнақлылығы

Шегаралары шексиз меншиксиз интегралларды есаплаў.

Мейли функциясы аралықта анықланған ҳәм 6зликсиз болсын. Онда усы аралықта бул функцияның дәслепки функциясы бар болады ҳәм интеграл есабының тийкарғы формуласы бойынша

болады. Егер шекли

шек бар болғанда ғана меншиксиз интегралдың бар болатуғынлығы усыннан айқын көринеди ҳәм сонда

Егер ти шек деп т6синсек, онда усыған уқсас
,
сондай-ақ

Мысалы` ,
интегралларын есаплаң.


Меншиксиз интегралларда өзгериўшини алмастырыў ҳәм бөлеклеп интеграллаў.

Мейли функциясы шекли ямаса шексиз аралықта анықланған ҳәм 6зликсиз болсын, ал ноқаты кирмейтуғын бөлегиниң ҳәр қайсысында меншикли мағанада интегралланатуғын болып, те бола алады.

Енди аралықта монотон өсиўши функциясын қарастырайық. Бунда бола алады. Бул функция өзиниң туўындысы менен бирге усы аралықта 6зликсиз. Биз , деп уйғарамыз. Соңғы теңликти мағанасында т6синиў керек.
Усы шәртлер орынланғанда мына теңлик орынлы болады`

Мысалы`
Мейли`
1) ҳәм - аралықта үзликсиз болсын
2) Төмендеги меншиксиз интеграллардан ең болмағанда биреўи жыйнақлы болсын`
ҳәм ~
3) шек бар болсын.
Онда төмендеги теңлик орынлы болады

Мысалы`
,
екенлигин көрсетиң.


Шегараланбаған функцияның меншиксиз интеграллары.

Бизге белгили интегралының бар болыўы ушын интеграл астындағы функциясының шегараланған болыўы зәр6р еди. Бирақ гейпара жағдайларда функциясы шегараланбаған болыўы да м6мкин. Бундай жағдайларда интегралды төмендегише анықлаймыз`

Мейли функциясы аралықта интегралланыўшы болсын, бунда , бирақ аралықта шегараланбаған. Бунда ноқаты айрықша ноқат деп аталады.
Егерде да интегралының шекли ямаса шексиз шегин функцияның дан ға шекемги аралықтағы интегралы (меншиксиз) деп аталады ҳәм былай белгиленеди`
(1)
Шекли шеги бар болған жағдайда (1) интегралды жыйнақлы, кери жағдайда интегралды таралыўшы дейди.
Тап усылайынша

интегралыды да анықлаймыз (бул жағдайда ноқаты айрықша ноқат).
Егерде интегралы аралықтың қандайда с ноқатында шегараланбаған болса , онда берилген интегралды төмендегише еки интегралдың қосындысы түринде жазып, жоқарыдағы көрилген еки жағдайға алып келемиз`
.
Егерде ҳәм ноқатларының екеўи де айрықша ноқатлар болса, онда дан ға дейинги интегралдың анықламасы мына теңлик пенен бериледи`

Егер бул шек бар болса, онда берилген интегралға жыйнақлы интеграл деп, ал егерде бар болмаса таралыўшы интеграл деп аталады.
Мысалы` интегралының жыйнақлы яки таралыўшы екенлигин тексериң (бул жерде 0 - айрықша ноқат).

Мейли болсын. Онда

Мейли болсын, онда

Мейли болсын, онда

Мейли болсын, онда

Солай етип, берилген интеграл болғанда жыйнақлы, ал болғанда таралыўшы интеграл болады екен.