Лекция. Общая задача интерполяции функций. Ограниченные окружности

L_n(x) = l₀(x) + l₁(x) + … + l_n(x) (5)
Где l_i(x) - полином степени n, причем
Таким образом, требование (6) с учетом (5) полностью обеспечивает выполнение условия (2).
Представим полиномы l_i(x) следующим образом:
l_i(x) = c_i ·(x – x₀) · (x – x₁) · … · (x - x_i-1) · (x – x_i+1) · …· (x - x_n) (7)
где c_i – const, значение которой найдем из первой части условия (6): Итак, получим:
- интерполяционный полином Лагранжа.
Пример. Построить интерполяционный полином Лагранжа для функции, заданной таблицей:

X	1	3	4
f(x)	12	4	6

x₀ = 1; x₁ = 3; x₂ = 4; n = 2;
y₀ = 12; y₁ = 4; y₂ = 6.

Используя обозначение П_n+1(x) = (x – x₀) · (x – x₁) · …· (x - x_n), получим более компактный вид интерполяционного полинома Лагранжа. Для этого продифференцируем П_n+1(x) по x:

При x = x_i имеем: П’_n+1(x) = (x_i – x₀) ·…· (x_i – x_i-1) (x_i – x_i+!) · …· (x_i - x_n). Тогда формула Лагранжа имеет вид:
Интерполяционные полиномы Ньютона для равноотстоящих узлов
Часто интерполирование ведется для функций, заданных таблицами с равноотстоящими значениями аргумента: h = x_i+1 - x_i (i = 0, 1, 2, …, n) – const. Для таких таблиц построение интерполяционной формулы упрощается.
Конечные разности
Пусть функция задана таблицей

X	x0	x1	…	xn
f(x)	y0	y1	…	yn

Разности между значениями функции в соседних узлах интерполяции называются конечными разностями 1-го порядка:
Dy_i = y_i+1 – y_i (i = 0, 1, 2, …)
Из конечных разностей 1-го порядка образуются конечные разности 2-го порядка:
D²y_i = Dy_i+1 – Dy_i (i = 0, 1, 2, …)
Продолжая этот процесс, можно по заданной таблице функции составить таблицу конечных разностей:

x	y	Dyi	D^2yi	D^3yi	…
X0	y0	Dy0	D^2y0	D^3y0	…
X1	y1	Dy1	D^2y1	D^3y1	…
X2	y2	Dy2	D^2y2	…
X3	y3	Dy3	…
X4	y4	…
…	…

Конечные разности любого порядка могут быть представлены через значения функции:
Dy_i = y_i+1 – y_i
D²y_i = Dy_i+1 – Dy_i = (y_i+2 – y_i+1) – (y_i+1 - y_i) = y_i+2 – 2y_i+1 + y_i
D³y_i = D²y_i+1 – D²y_i = y_i+3 – 2y_i+2 + y_i+1 - y_i+2 – 2y_i+1 + y_i = y_i+3 – 3y_i+2 + 3y_i+1 - y_i
и так далее.
Методом математической индукции можно доказать, что

Пусть для функции, заданной таблицей с постоянным шагом, составлена таблица конечных разностей

x	y	Dyi	D^2yi	D^3yi	…
x0	y0	Dy0	D^2y0	D^3y0	…
x1	y1	Dy1	D^2y1	D^3y1	…
x2	y2	Dy2	D^2y2	…
x3	y3	Dy3	…
x4	y4	…
…	…

Будем искать интерполяционный полином в виде:
P_n(x) = a₀ + a₁(x-x₀) + a₂(x-x₀)(x-x₁) + … + a_n(x-x₀)(x-x₁)∙…∙ (x-x_n-1).
Это полином n-ой степени. 
Значения коэффициентов a₀, a₁, a₂, …,a_n определим из условия совпадения значений исходной функции и полинома в узлах. Действительно, в x = x₀, имеем: В общем случае, выражение для a_k будет иметь вид:
Подставим (2) в выражение полинома P_n(x):

Для практического применения удобнее преобразовать формулу (3) в виде:

Формула (4) называется 1-й интерполяционной формулой Ньютона.
Эта формула применяется для интерполирования в начале отрезка интерполяции, когда t мало по абсолютной величине. За начальное значение x₀ можно принимать любое табличное значение аргумента x.
Пример. Составить аналитическое выражение для вычисления функции в точке x=1,8:

x	1	1,5	2	2,5
f(x)	5	8	12	18

x	y	Dyi	D^2yi	D^3yi
1	5	3	1	1
1,5	8	4	2	-
2	12	6	-	-
2,5	18	-	-	-

Решение: h = 0,5

Пример 2. Составить аналитическое выражение для вычисления функции в точке x=2,5:

x	2	3	4	5
f(x)	8,5	10	12	15

Решение: h = 1

x	y	Dyi	D^2yi	D^3yi
2	8,5	1,5	0,5	0,5
3	10	2	1	-
4	12	3	-
5	15	-

x = x₀ + h·t = 2 + t
t = x – 2 =2,5 – 2 = 0,5

Литература

1. 
   Исаков В.Н. Элементы численных методов — М: Издательский центр «Академия», 2003.
   
2. 
   Березин И. С, Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. — М.: Наука, 1966; Т. 2. - М.: Физматгиз, 1962.
   
3. 
   Бохан К. А., Егорова И. А., Лащенов К.В. Курс математического анали­за. Т. 1. — М.: Просвещение, 1972.
   
4. 
   Бохан К. А., Егорова И. А., Лащенов К. В. Курс математического анали­за. Т. 2. — М.: Просвещение, 1972.
   

5. Вычислительная математика / Н.И.Данилина, Н.С.Дубровская,
О.П.Кваша, Г.Л.Смирнов. — М.: Высшая школа, 1985.
б.Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — М.: Наука, 1970.

7. 
   Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э.З. Численные методы ана­лиза. — М.: Наука, 1967.
   
8. 
   Заварыкин В.М., Житомирский В. Г., Лапчик М.П. Численные мето­ды. — М.: Просвещение, 1990.
   
9. 
   Ильин В. А, Садовничий В. А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. — М.: Изд-во МГУ, 1985.
   

10. 
    Калиткии Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.
    
11. 
    Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных урав­нений. — М.: Иностранная литература, 1953.
    
12. 
    Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функци­онального анализа. — М.: Наука, 1972.
    
13. 
    Копченова Н.В., Марон И. А. Вычислительная математика в приме­рах и задачах. — М.: Наука, 1972.
    
14. 
    КурошА.Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1975.
    
15. 
    Пулькин СП., Никольская Л.Н., Дьячков А. С. Вычислительная мате­матика. — М.: Просвещение, 1980.
    
16. 
    Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. — М:. Просвещение, 1988.
    
17. 
    Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифферен­циальных уравнений. — М.: Высшая школа, 1963.
    

18. 
    МысовскихИ.П. Лекции по методам вычислений. — М.: Физматгиз, 1962.
    
19. 
    Носач В. В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров. — М.: Изд-во МИКАП, 1994.
    
20. 
    Самарский А. А., ГулинА.В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.
    
21. 
    ТурчакЛ.И. Основы численных методов. — М.: Наука, 1987.
    
22. 
    Фихтешольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчис­ления. Т. 1. — М.: Наука, 1969.
    
23. 
    Фихтешолъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчис­ления. Т. 2. - М.: Наука, 1969.