Лекция. Общая задача интерполяции функций. Ограниченные окружности

1 - лекция. Общая задача интерполяции функций. Ограниченные окружности.


1.1. Интерполирование функций кубическими сплинами.

Цель: научиться проводить анализ дискретных значений функции с целью ее интерполирования (определения приближенного значения) при помощи стандартных функций интерполяции: полинома Лагранжа и полиномов Ньютона для случая равноотстоящих узловых значений аргумента.
В результате выполнения лабораторной работы студент должен
ЗНАТЬ:
- основные понятия интерполирования функций (полином, степень полинома, узловые точки, шаг интерполяции);
- способы построения полиномов Лагранжа, Ньютона (1-й и 2-й) для функций, заданных табличными значениями;
УМЕТЬ:
- представлять функцию в виде интерполяционного полинома и находить значение функции в промежуточной точке;
- строить интерполяционный полином Лагранжа для равноотстоящих узлов;
- строить полином Ньютона, выбирая при этом его вид (1-й или 2-й) в зависимости от промежуточной точки.
ИМЕТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ:
- о возможностях прямого решения задачи интерполирования (с помощью системы линейных уравнений).

Постановка задачи

Пусть известные значения некоторой функции f образуют следующую таблицу:

x	x0	x1	…	xn
f(x)	y0	y1	…	yn

Требуется получить значение функции f для такого x, которое входит в отрезок [x₀, x_n], но не совпадает ни с одним из значений x_i (I=0, 1, …, n). Очевидный прием решения этой задачи – вычислить значение f(x), воспользовавшись аналитическим выражением функции f.

Однако, аналитическое выражение функции f неизвестно. В таких случаях применяется особый прием – построение по исходным данным приближенной функции F, т.е.


F(x)» f(x) (1)

При этом требуется точное совпадение значений f(x) и F(x) в точках x_i (I=0, 1, …, n), т.е.