Limitlar haqida asosiy teoremalar. Bir tomonlama limitlar. Cheksiz kichik va cheksiz kata miqdorlar birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar

6. Limitlar haqidagi asosiy teoremalar
1-teorema. O`zgarmas miqdorning limiti shu o`zgarmasning o`ziga teng, ya`ni: .
Isboti:
.
.
bo`lganligi uchun yoki bo`ladi.
2-teorema. Limitga ega bo`lgan funktsiyalar yig`indisi (ayirmasi) shu funktsiyalar limitlarining yig`indisi (ayirmasi)ga teng, ya`ni:

Isboti: va bo`lsin. Limitning ta`rifiga asosan va lar cheksiz kichik miqdorlardir. Bulardan va .
Demak, ,
.
Ma`lumki, - cheksiz kichik miqdordir. Bundan esa va orasidagi ayirma cheksiz kichik miqdor bo`lganligi uchun

bo`ladi. U holda, va larni hisobga olsak,

ekanligi kelib chiqadi.
3-teorema. Limitga ega bo`lgan funktsiyalar ko`paytmasining limiti shu funktsiyalar limitlarining ko`paytmasiga teng:
.
Isbot: Teorema shartida asosan va funktsiyalar limitga ega, ya`ni va . Shuning uchun ham va deb yoza olamiz. Bu tengliklarni ko`paytiramiz:
.
Bundan . Tenglikning o`ng tomoni cheksiz kichik bo`lganligi uchun ularning limiti ga tengligi shubhasizdir. U holda, ayirma cheksiz kichik miqdor bo`lib, limiti nolga teng bo`ladi. Limitning ta`rifiga asosan esa
yoki .
Demak, teorema isbot bo`ldi.
3-teoremadan quyidagi natijalar kelib chiqadi:
1- natija. O`zgarmas ko`paytuvchini limit belgisi oldiga chiqarish mumkin:
.
2- natija. Agar natural son bo`lsa, u holda
. .
3- natija. ko`phad ( butun rasional funktsiya) ning dagi limiti bu ko`phadning dagi qiymatiga teng, ya`ni: .
4- natija.

kasr- rasional funktsiyaning dagi limiti bu funktsiyaning aniqlanish sohasiga teng bo`lsa, shu funktsiyaning dagi qiymati

ga teng bo`ladi.
4-teorema. Limitga ega bo`lgan (ya`ni va ) ikki funktsiya nisbatining limiti bo`linuvchi va bo`luvchi funktsiyalar limitlarining nisbatiga teng (bunda bo`luvchi funktsiya limiti nolga teng emas):
, .
Isboti: Teorema shartiga ko`ra va bo`lganligi uchun quyidagilar o`rinli bo`ladi:
.
Hosil bo`lgan kasrning surati cheksiz kichik miqdordir. Maxraji esa cheksiz kichik miqdor emas. Bundan esa cheksiz kichik miqdorning cheksiz kichik bo`lmagan miqdorga nisbati cheksiz kichik bo`ladi. Shuning uchun ham uning limiti nolga teng. Demak, ayirmaning limiti nolga teng bo`ladi. Bundan
.
Teorema isbotlandi.