Limitlar haqida asosiy teoremalar. Bir tomonlama limitlar. Cheksiz kichik va cheksiz kata miqdorlar birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar

5. Funktsiyaning limiti
Ta`rif. Agar istalgan son uchun shunday son topilsaki, tengsizlikni qanoatlantiradigan istalgan uchun tengsizlik bajarilsa, soni da funktsiyaning limiti deyiladi va bunday belgilanadi:
.
Agar har bir son uchun shunday son topilsaki, bajarilganda ham bajarilsa, argument ga intilganda funktsiya songa teng limitga ega deyiladi va quyidagicha ifodalanadi:
.
Berilgan funktsiyaning limiti qaralayotgan nuqta funktsiyaning aniqlanish sohasiga kirishi yoki kirmasligi ham mumkin. Funktsiyaning nuqtadagi limiti topilganda deb qaraladi. Funktsiyaning limiti va larga bog`liq bo`ladi. Bunda quyidagi uch holni qarab o`tamiz:
1. va - chekli.
2. - chekli va .
3. va .
Endi bu hollar uchun funktsiya limitiga ta`riflar beramiz.
1.Oldindan berilgan har qanday cheksiz kichik son uchun shunday son topilsaki, bo`lganda bo`lsin:
.
2.Oldindan berilgan har qanday istalgancha katta son uchun shunday son topilsaki, bo`lganda bo`lsin:
.
3.Oldindan berilgan har qanday istalgancha katta son uchun shunday son topilsaki, bo`lganda kelib chiqsin:
.
Funktsiya limiti ta`rifidan foydalanib, quyida funktsiyalar limitlarini topamiz.
1-misol. O`zgarmas sonning limiti shu sonning o`ziga tengligini isbotlang.
Isboti: Faraz qilaylik, berilgan bo`lsin. U holda, har qanday son uchun tengsizlik hosil bo`ladi. Xulosa qilib aytish mumkinki, ixtiyoriy uchun .
2-misol. berilgan bo`lsa, ekanligini isbotlang.
Isboti: Faraz qilaylik, ixtiyoriy haqiqiy son bo`lsin. Quyidagi modulni yozamiz: .
Agar deb olsak, tengsizlikni qanoatlantiruvchi har qanday uchun tengsizlik bajariladi, ya`ni va funktsiyaning nuqtadagi limitining ta`rifiga asosan quyidagi natijaga kelamiz:
.
3-misol. Funktsiya limitining ta`rifidan foydalanib, ni isbot qiling.
Isboti: Funktsiya limitining ta`rifiga asosan, ixtiyoriy son uchun biror son topilib, bo`lganda tengsizlik bajarilishi kerak, ya`ni:
.
Ushbu tengsizlik ni qanday tanlaganda bajarilishini topamiz. Oxirgi tengsizlikdan ko`rinadiki, bajarilsa, tengsizlik ham bajariladi.
Demak, .