Listrik magnet I oleh: Dr rer nat. Ayi Bahtiar jurusan fisika fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam universitas padjadjaran bandung

r adalah vektor dari permukaan ke pusat bola.
Dari simetri bola, tampak bahwa hanya komponen dE
s
yang searah dengan P
saja yang berperan dalam integral dE
s
.  Karena da = r
2
sin 
θ dθ dϕ, maka:
+
+
+
+
+
+
−−
−
−
−
−
p
σ
S
P
r
θ
P
3
1
d
sin
cos
d
P
4
1
E
0
0
2
2
0
0
s
r
r
r
ε
=
θ
θ
θ
ϕ
πε
=
∫
∫
π
π

Berapakah E’ ??
Jika didalam rongga terdapat banyak dipol dan mereka terorientasi sejajar namun
terdistribusi secara acak serta tidak ada korelasi antara posisi dipol, maka E’ =  0.
Jika dipol-dipol di dalam rongga terletak secara teratur (kristal kubus), maka E’ =  0.
Secara umum E’
≠ 0 (gas, cairan atau material yang mengandung beberapa
molekul yang berbeda). 
Dalam bahan dielektrik kebanyakan, maka:
P
3
1
E
E
0
m
r
r
r
ε
+
=
Momen dipol suatu molekul sebanding dengan medan listrik yang bekerja pada
molekul tersebut. Rasio momen dipol molekul dan medan polarisasi disebut
dengan polarizabilitas molekul
α:
m
m
E
p
r
r
α
=
Jika terdiri dari N molekul persatuan volume, maka polarisasi:






ε
+
α
=
=
P
3
1
E
N
p
N
P
0
m
r
r
r
r







ε
+
α
=
=
P
3
1
E
N
p
N
P
0
m
r
r
r
r
Persamaan diatas dapat ditulis dalam konstanta dielektrik K, karena
E
)
1
K
(
E
P
0
r
r
r
ε
−
=
χ
=
Sehingga polarizabilitas molekul menjadi:
(
)
(
)
2
K
N
1
K
3
0
+
−
ε
=
α
Persamaan Claussius-
Mossotti
Jelas bahwa sifat-sifat molekul seperti polarizabilitas molekul (besaran
mikroskopik) dapat ditentukan dari besaran makroskopik (konstanta dielektrik)

B. DIPOL INDUKSI : MODEL SEDERHANA
Molekul dielektrik diklasifikasikan sebagi polar dan nonpolar.
• Molekul polar memiliki momen dipol permanen, bahkan jika medan polarisasi
E
m
= 0.
• Molekul nonpolar, dimana pusat gravitasi (muatan positif) dan distribusi muatan
negatif umumnya sebanding.
Contoh : molekul-molekul simetri (H
2
, N
2
dan O
2
), 
molekul monoatomik (He, Ne, Ar)
Medan listrik yang diberikan menyebabkan pergeseran muatan-muatan positif
dan negatif sehingga terbentuk dipol molekul (dipol induksi).
Inti (muatan Ze) dimana Z adalah bilangan atom dan e adalah muatan elektron. 
Secara listrik atom bersifat netral, sehingga muatan total awan elektron adalah –
Ze. Jika atom ditempatkan dalam medan listrik E
m
, maka inti akan berpindah
sejauh x searah medan.
Suatu gaya ZeE
m
akan bekerja searah medan dimana gaya elektrostatik antara
inti dan awan elektron untuk kembali ke posisi awal.

Dengan hukum Gauss, muatan negatif menarik inti sebagai bagian dari awan
(cloud) dengan jari-jari x, dan jika rapat elektron di dalam awan adalah uniform, 
maka muatannya menjadi:
( )
(
)
m
3
0
0
m
2
0
3
0
3
E
R
4
Zex
E
Ze
x
4
R
/
Zex
Ze
πε
=
=
πε
Dalam proses ini terjadi dipol atom sebesar p
m
= Zex, sehingga polarizabilitas :
3
0
0
R
4
πε
=
α
Dengan kombinasi persamaan Claussius-Mossotti, maka
α bisa dieliminasi, 
sehingga jari-jari atom R
0
dapat diperoleh. R
0
berkisar 1 Å (10
-10
m)
(
)
(
)
3
/
1
0
0
0
)
2
K
N
4
1
K
3
R






+
πε
−
ε
=
Polarizabilitas ini adalah konstan tidak bergantung pada medan polarisasi
(dielektrik linier)

C. MOLEKUL POLAR ; FORMULA LANGEVIN-DEBYE
Suatu molekul polar memiliki momen dipol permanen. Suatu molekul polar terdiri
dari sedikitnya dua atom yang berbeda. Selama pembentukan molekul, 
beberapa elektron baik parsial ataupun seluruhnya ditransfer dari satu atom ke
yang lainnya dengan menghasilkan susunan elektronik sedemikian rupa
sehingga pusat-pusat muatan negatif dan positif tidak koinsiden didalam
molekul. Jika tak ada medan listrik, dielektrik polar tidak terpolarisasi sehingga
individual dipol terorientasi secara acak (lihat gambar).
- +
-
+
-
+
-
+
-+
- +
-
+
-
+
-+
-
+
distribusi dipol permanen yang acak

Polarisasi menjadi:
∑
∆
=
m
p
v
1
P
r
r
Dimana penjumlahan meliputi seluruh molekul di dalam elemen volume 
∆v. Jika
pm terorientasi acak, maka polarisasi menjadi nol.
Jika dielektrik polar diberikan medan listrik, individual-individual dipol mengalami
torqi dan cenderung searah dengan medan listrik. Jika medan cukup kuat, dipol-
dipol mungkin akan terorientasi semuanya sehingga polarisasi :
m
s
p
N
P
r
r
=
Dimana N adalah jumlah molekul per-satuan volume.
Biasanya polarisasi dielektrik polar jauh dari nilai saturasi, dan jika temperatur
dinaikkan, polarisasi akan berkurang. Hal ini karena energi termal molekul akan
cenderung menghasilkan orientasi dipol yang acak.

Momen dipol efektif rata-rata dihitung dengan prinsip mekanika statistik
bahwa pada temperatur T, probabilitas menemukan energi molekul tertentu
E sebanding dengan faktor Blotzmann:
kT
/
E
e
−
Dimana k = konstanta Boltzmann dan T = temperatur absolut.
Berdasarkan hukum distribusi Maxwell, probabilitas suatu molekul dengan
kecepatan v sebanding dengan exp (-mv
2
/2kT).  Dalam gas ideal, molekul-
molekul memiliki energi ½(mv
2
). Secara umu energi terdiri dari energi kinetik
E
k
dan energi potensial U, sehingga faktor Blotzmann menjadi:
kT
/
U
kT
/
k
E
e
e
−
−
Energi potensial dari dipol permanen p
0
dalam suatu medan dielektrik E
m
:
θ
−
=
•
−
=
cos
E
p
E
p
U
m
0
m
0
r
r
Dengan
θ = sudut antara p
0
dan medan listrik. 

Momen dipol efektif suatu dipol molekul adalah komponen-komponennya
sepanjang arah medan (p
0
cos
θ). Dengan hubungan Boltzmann, maka:
(
)
(
)
∫
∫
Ω
θ
Ω
θ
θ
=
θ
d
kT
/
cos
E
p
exp
d
kT
/
cos
E
p
exp
cos
p
cos
p
m
0
m
0
0
0
Dimana d
Ω = sudut ruang = 2π sin θ dθ dan batas θ adalah 0 dan π. karena p
0
, 
E
m
dan kT adalah konstanta, maka dapat didefinisikan:






−
=
θ
=
y
1
y
coth
p
cos
p
kT
E
p
y
0
0
m
0
Formula Langevin

0
kT
/
E
p
y
m
0
=
θ
cos
p
p
1
0
0
Fungsi Langevin
Momen dipol molekul p0 untuk bahan polar umumnya y << 1 untuk sembarang
harga medan listrik sepanjang dibawah temperatur 250 K.  Karenanya bahan
dielektrik yang mengandung molekul-molekul polar umumnya linier.
Dalam daerah linier coth y dapat diuraikan dalam deret, sehingga:
kT
3
E
p
y
p
3
1
cos
p
m
2
0
0
0
=
≈
θ

Karena < p
0
cos
θ> adalah momen dipol efektif rata-rata, maka polarisasi
P = N < p
0
cos
θ> searah E
m
, sehingga
:
m
2
0
m
E
kT
3
p
P
N
1
p
r
r
r
=
=
Jika dibandingkan dengan persamaan sebelumnya :
kT
3
p
E
p
2
0
m
m
=
α
α
=
r
r
Polarizabilitas orientasional.
Efek dipol induksi meningkatkan deformasi polarizabilitas
α
0
, sehingga secara
umum polarizabilitas molekul total :
kT
3
p
2
0
0
+
α
=
α
Persamaan Langevin-Debye
(penting untuk interpretasi struktur
molekul)

D. POLARISASI PERMANEN ; FEROELEKTRISITAS
Medan molekul E
m
berperan dalam polarisasi individual molekul. Dalam
banyak kasus P ~ E, sehingga E
m
= 0 jika E = 0.
Namun dalam kondisi tertentu, bila terdapat polarisasi permanen (spontan), 
maka walaupun E = 0,
0
P
3
1
E
0
0
m
≠
ε
=
r
r
Artinya jika ada polarisasi P
0
, ia akan memberikan medan listrik pada molekul
sehingga molekul akan terpolarisasi.
Jika N adalah jumlah molekul per-satuan volume, maka:
0
0
m
0
P
3
N
E
N
P
r
r
r
ε
α
=
α
=
Ini berlaku jika P
0
=0 atau (N
α/3ε
0
) = 1 [polarisasi permanen]

Dalam bahan dielektrik biasa (N
α/3ε
0
) < 1 , sedangkan yang memilki polarisasi
permanen adalah kristal feroelektrik.
Contoh: Kristal BaTiO
3
(Barium Titanate) yang memiliki momen dipol
permanen/spontan pada temperatur dibawah 120
0
C (Temperatur Curie).
Keadaan terpolarisasi pada bahan feroelektrik adalah stabil dalam periode waktu
yang lama.
Seperti dibahas sebelumnya, jika bidang muka pelat lebih besar daripada tebal
pelat, maka:
P
1
E
0
d
r
r
ε
−
=
Sebenarnya stabilitas dari polarisasi feroelektrik yang tinggi akibat tidak adanya
medan yang tak-terpolarisasi pada spesies, bahkan untuk kasus geometri
papah/planar (slab).
Species terpolarisasi dengan menempatkannya diantara pelat konduktor sejajar
yang diberikan beda potensial yang besar.

+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
Muatan bebas dari pelat dinetralisasi oleh muatan polarisasi permukaan. Jika kedua
pelat diberi potensial yang sama (hubung singkat), keadaan terpolarisasi dari bahan
feroelektrik masih memiliki energi sehingga muatan bebas tetap berada ditempatnya
yang akan menetralisir muatan-muatan polarisasi (lihat gambar di bawah). Medan
makroskopik di dalam feroelektrik menjadi nol.
Jika perbedaan potensialnya besar dan berlawanan tanda, maka species akan
merubah polarisasinya dan muatan bebas yang berlawanan tanda akan mengalir
menuju pelat melalui rangkaian luar, sehingga cukup tidak hanya untuk
menetralisasi muatan bebas yang sudah ada, namun juga muatan polarisasi baru.
Adi suatu pelat feroelektrik diantara dua pelat sejajar dapat digunakan untuk divais
memori yang dapat menyimpan +/- dan -/+ dan polarisasinya masih bertahan
walaupun medan luarnya nol.
E = 0
muatan bebas
permukaan

a
0
b
c
E
P
Jika beda potensial yang diberikan berlawanan arah dengan polarisasi asal, 
maka muatan akan mengalir melalui rangkaian luar bila polarisasi feroelektrik
berubah arahnya. Polarisasi bahan feroelektrik akan stabil terhadap medan
balik luar dengan syarat bahwa medannya tidak terlalu besar. 
Kondisi diatas digambarkan dalam kurva histeresis. Titik-titik b dan a adalah
kondisi stabil pada E = 0. Titik-titik ini berturut-turut menggambarkan polarisasi
+/- dan -/+. Titik c adalah medan listrik yang harus dilampaui agar terjadi
polarisasi yang terbalik.
Kurva histeresis bahan feroelektrik

ENERGI LISTRIK STATIK

Banyak persoalan dalam mekanika disederhanakan berdasarkan pertimbangan
energi. Energi listrik dapat berupa energi kinetik dan potensial. Dalam listrik statik
(v = 0), seluruh energi muatan berupa energi potensial.
Dalam bab ini akan dibahas energi potensial yang timbul dari interaksi antar
muatan atau disebut energi listrik statik.
Energi listrik statik U dari suatu muatan titik sangat terkait dengan potensial listrik
statik
φ pada posisi muatan titik tadi. Jika q adalah muatan titik tertentu, maka
kerja yang dilakukan oleh gaya pada muatan bila ia bergerak dari A ke B:
(
)
A
B
B
A
B
A
B
A
q
d
q
d
E
q
d
F
Kerja
φ
−
φ
−
=
•
φ
∇
−
=
•
=
•
=
∫
∫
∫
l
r
r
l
r
r
l
r
r
F diasumsikan hanya gaya listrik qE pada masing-masing titik sepanjang lintasan, 
sehingga muatan-muatan akan bergerak. Jika muatan diam, maka gaya listrik
pada tiap titik harus diimbangi dengan gaya yang sama dan berlawanan sehingga
kerja total menjadi nol dan energi kinetik tak berubah.

Kerja yang dilakukan gaya lain:
(
)
A
B
q
W
φ
−
φ
=
yaitu bertambahnya energi listrik statik muatan sepanjang lintasan A 
→ B.
A. ENERGI POTENSIAL DARI SEKELOMPOK
MUATAN-MUATAN TITIK
Energi listrik statik sekelompouk muatan titik m adalah energi potensial sistem
yang berkaitan dengan keadaan dimana semua muatan titik terpisah tak-hingga
satu sama lain. Energi diperoleh dengan menghitung kerja untuk menghimpun
muatan-muatan menjadi satu pada satu waktu.
Muatan q
1
ditempatkan pada posisi tanpa adanya kerja (W
1
= 0). Penempatan
muatan q
2
memerlukan kerja :
1
2
21
21
0
1
2
2
r
r
r
;
r
4
q
q
W
r
r −
=
πε
=
Untuk muatan q
3
:






πε
+
πε
=
32
0
2
31
0
1
3
2
r
4
q
r
4
q
q
W

Energi listrik statik total untuk menghimpun m-muatan :
∑∑
∑ ∑
∑
=
−
=
=
−
=
=
=








πε
=
=
m
1
j
1
j
1
k
jk
m
1
j
1
j
1
k
jk
0
k
j
m
1
j
j
W
r
4
q
q
W
U
Dalam bentuk matriks, dimana W
jk
= W
kj
dan W
jj
= 0 :
(
)
∑∑
∑∑
=
=
=
=
πε
=
=
=
m
1
j
m
1
k
jk
0
k
j
'
jj
m
1
j
m
1
k
jk
r
4
q
q
2
1
0
W
W
2
1
U
Faktor ½ timbul untuk memastikan bahwa inateraksi antara pasangan muatan
tidak terjadi dua kali.

Potensial
φ pada muatan titik ke-j akibat muatan lain di dalam sistem :
j
m
1
j
j
m
1
k
jk
0
k
'
q
2
1
U
r
4
q
φ
=
πε
=
φ
∑
∑
=
=
Maka energi listrik statik :
Jika muatan-muatan titik dihimpun dalam bahan dielektrik, maka energinya
sama dengan persamaan diatas, hanya dalam potensial
ε
0
diganti dengan
ε
(permitivitas bahan dielektrik).
B. ENERGI LISTRIK STATIK DARI DISTRIBUSI MUATAN
Kita akan menghimpun distribusi muatan dengan membawa sejumalah mutan
tambahan
δq dari suatu potensial acuan φ
A
= 0. Jika distribusi muatan telah
tersusun sebagian dan potensial di titik tertentu didalam sistem adalah
φ’(x,y,z), maka kerja yang diperlukan untuk menempatkan muatan dq di titik
tersebut:
(
)
a
q
v
q
q
z
,
y
,
x
'
W
∆
δσ
=
δ
∆
δρ
=
δ
⇒
δ
φ
=
δ

Setiap pemindahan penambahan muatan, seluruh muatan akan berada pada
fraksi yang sama dengan nilai akhir, dimana fraksi tersebut disebut
α, maka:
(
) (
)
(
) (
)
da
z
,
y
,
x
;
'
z
,
y
,
x
d
dv
z
,
y
,
x
;
'
z
,
y
,
x
d
U
1
0
S
1
0
V
α
φ
σ
α
+
α
φ
ρ
α
=
∫ ∫
∫ ∫
Tetapi karena seluruh muatan memiliki fraksi dari nilai akhir yang sama a, maka
φ’(α;x,y, z) = αφ(x,y, z), dimana φ adalah nilai akhir potensial pada (x,y,z), maka:
( ) ( )
( ) ( )
da
r
r
2
1
dv
r
r
2
1
U
S
V
r
r
r
r
φ
σ
+
φ
ρ
=
∫
∫
Volume V harus cukup besar untuk melipuri seluruh rapat muatan dan
potensial hanya diakibatkan oleh
ρ dan σ saja.
Jika seluruh ruang diisi oleh suatu bahan dielektrik, maka potensial (jika
konduktor tak dihitung):
( )
( )
( )
'
da
'
r
r
'
r
4
1
'
dv
'
r
r
'
r
4
1
r
S
V
∫
∫
−
σ
πε
+
−
ρ
πε
=
φ
r
r
r
r
r
r
r

Untuk kasus khusus:
( )
(
)
( )
(
)
k
m
1
k
'
j
m
1
j
j
r
r
qk
'
r
r
r
q
r
r
r
r
r
r
r
−
δ
=
ρ
−
δ
=
ρ
∑
∑
=
=
Jika konduktor ada di dalam sistem, karena konduktor merupakan daerah
ekipotensial, maka : 
j
j
j
konduktor
Q
2
1
da
2
1
φ
=
σφ
∫
dengan Qj adalah muatan pada konduktor ke-j. Maka energi listrik statik
dari suatu distribusi muatan yang mencakup juga konduktor :
j
j
j
'
S
V
Q
2
1
da
2
1
dv
2
1
U
φ
+
φ
σ
+
φ
ρ
=
∑
∫
∫
meliputi seluruh konduktor
dibatasi pada permukaan
non-konduktor

Dalam konduktor, dimana muatan-muatannya berada pada permukaan, 
maka
ρ = 0 dan σ = 0, sehingga energi potensial di dalam konduktor:
j
j
j
Q
2
1
U
φ
=
∑
Secara umum, energi potensial yang melibatkan interaksi antar konduktor :
2
j
j
j
1
j
j
j
Q
2
1
Q
2
1
U
φ
+
φ
=
∑
∑
Akibat muatan
pada konduktor j itu
sendiri
Akibat muatan
pada konduktor
lain

Pandang suatu distribusi muatan sembarang yang dicirikan oleh rapat muatan
ρ dan σ.
Rapat muatan volume didalam bahan dielektrik :
D
r
r
•
∇
=
ρ
Rapat muatan permukaan pada konduktor :
n
D r
r
•
=
σ
Maka energi menjadi:
∫
∫
•
φ
+
•
∇
φ
=
S
V
da
n
D
2
1
dv
D
2
1
U
r
r
r
r
Divergensi dari D mengacu pada daerah diluar konduktor, sehingga tidak
sama dengan nol. Integral permukaan meliputi konduktor.
C. RAPAT ENERGI LISTRIK 

E
D
D
D
D
D
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
•
+
φ
•
∇
=
φ
∇
•
−
φ
•
∇
=
•
∇
φ
Maka energi potensial dapat ditulis menjadi:
∫
∫
∫
•
φ
+
•
+
•
φ
=
+
S
'
S
S
V
da
n
D
2
1
dv
E
D
2
1
dv
'
n
D
2
1
U
r
r
r
r
r
r
S adalah semua permukaan dalam sistem dan S’ = permukaan yang membatasi
sistem dan bisa dipilih tak-hingga. Arah normal n’ keluar dari volume V dan
normal n arahnya keluar dari konduktor, karenanya masuk ke dalam volume V, 
sehingga kedua integral permukaan saling menghilangkan, maka:
∫
•
=
V
dv
E
D
2
1
U
r
r
Rapat energi (energi per-satuan volume) menjadi:
E
D
2
1
u
r
r
•
=

Jika bahannya merupakan bahan dielektrik linier, maka D = 
ε E, sehingga
rapat energi menjadi:
ε
=
ε
=
2
2
D
2
1
E
2
1
u