Listrik magnet I oleh: Dr rer nat. Ayi Bahtiar jurusan fisika fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam universitas padjadjaran bandung

METODA BAYANGAN

Metoda ini berkaitan dengan masalah dari satu atau lebih muatan titik akibat
kehadiran permukaan-permukaan batas. Sebagai contoh konduktor, baik yang 
digroundkan (potensialnya nol) atau yang diberi potensial tertentu.
Geometri dari suatu muatan dapat diinversi dengan muatan di luar permukaan batas. 
Muatan tersebut dinamakan muatan bayangan.
Contoh:
0
=
φ
q
0
=
φ
q
q’
(a)
(b)
Solusi metoda bayangan (a). Persoalan potensial riil, (b). Persoalan bayangan

1. Suatu muatan titik q diletakkan pada jarak d dari konduktor bidang tak-hingga
yang digroundkan. Hitung potensial dan rapat muatan di setiap titik serta gaya
yang bekerja pada muatan titik q.
Solusi:
(
)
0
0
x
=
=
φ
q
d
d
q’
x
y
1
r
2
r
P
Potensial di setiap titik disebelah kanan konduktor (titik P):
( )






−
πε
=






+
πε
=
φ
2
1
0
2
1
0
r
1
r
1
4
q
r
'
q
r
q
4
1
x
'
q
q
−
=
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
y
d
x
r
y
d
x
r
+
+
=
+
−
=

Sehingga potensial di setiap titik:
( )
(
)
(
)








+
+
−
+
−
πε
=
φ
2
2
2
2
0
y
d
x
1
y
d
x
1
4
q
x
Rapat muatan permukaan:
(
)
{
}
(
)
{
}
(
)
2
/
3
2
2
0
x
2
/
3
2
2
2
/
3
2
2
0
0
0
x
0
y
d
d
2
q
y
d
x
d
x
y
d
x
d
x
4
q
x
+
π
−
=
















+
−
+
−
+
−
−
πε
ε
=
∂
φ
∂
ε
−
=
σ
=
=
sesuai dengan syarat
Potensial di titik x = 0, maka d =0 sehingga:
(
)
0
0
x
=
=
φ
awal bahwa konduktor digroundkan (potensialnya nol).

Gaya yang bekerja pada muatan titik q menjadi:
2
0
2
2
0
d
4
q
r
'
qq
4
1
)
q
(
F
πε
−
=
πε
=
d adalah jarak anatara muatan q dan
muatan bayangannya q’.
Muatan titik akibat kehadiran konduktor bola yang digroundkan
Pandang suatu muatan titik q terletak pada jarak y relatif terhadap titik pusat
suatu konduktor bola yang berjejari a. Kita akan menghitung potensial, rapat
muatan permukaan di sembarang titik
φ(x), dimana φ(x = a) = 0 dan gaya yang 
bekerja pada muatan titik q.
a
q
P
xr
yr
q’
'
yr
Dengan bantuan simetri, tampak
bahwa muatan bayangan q’ terletak
searah dengan muatan titik q. 
Bila muatan titik q berada di luar
bola, maka
posisi
muatan
bayangan q’ berada di dalam bola.

Potensial di setiap titik (titik P):
( )






−
+
−
πε
=
φ
'
y
x
'
q
y
x
q
4
1
x
0
r
r
r
r
r
Bila adalah vektor satuan yang searah dengan
dan
adalah vektor satuan
yang searah dengan arah , maka:
nˆ
xr
'
nˆ
yr
( )






−
+
−
πε
=
φ
'
nˆ
'
y
nˆ
x
'
q
'
nˆ
y
nˆ
x
q
4
1
x
0
r
Potensial di permukaan konduktor bola (x = a) :
(
)












−
+
−
πε
=
=
φ
'
nˆ
'
y
a
'
nˆ
'
y
'
q
'
nˆ
a
y
nˆ
a
q
4
1
a
x
0

(
)
0
nˆ
'
y
a
'
nˆ
'
y
'
q
'
nˆ
a
y
nˆ
a
q
4
1
a
x
0
=












−
+
−
πε
=
=
φ
Kita harus memilih q’ dan y’ sedemikian rupa sehingga
(
)
0
a
x
=
=
φ
Maka:
y
a
'
y
q
y
a
'
q
2
=
−
=
Artinya:
1. Bila muatan q bergerak mendekati bola, (y 
≈ a), maka muatan bayangan
bertambah besar dan bergerak menjauhi pusat bola menuju permukaan bola (y’
≈
a).
2. Bila muatan q tepat terletak di luar permukaan bola (y = a), maka muatan
bayangan sama besarnya dengan muatan titik, namun berlawanan tanda dengan
muatan asal (q ‘ = -q) dan terletak tepat dibawah permukaan bola.
3. Bila q 
→
∞
maka muatan q’
→ 0 (pusat bola) 

Rapat muatan permukaan:
(
)






γ
−
+





 −






π
−
=
∂
φ
∂
ε
−
=
=
σ
=
cos
y
a
2
y
a
1
y
a
1
y
a
a
4
q
x
a
x
2
2
2
2
2
a
x
0
y
dan
x
antara
sudut
adalah
r
r
γ
Ilustrasi rapat muatan permukaan dalam satuan –q/4
πa
2
sebagai fungsi dari
γ
γ
σ
π
−
q
a
4
2
a
2
y
=
a
4
y
=

Gaya yang bekerja pada muatan titik q:
2
0
'
y
y
'
qq
4
1
F
−
πε
=






−
=
−
2
2
y
a
1
y
'
y
y
Karena
q
y
a
'
q
−
=
, maka:
2
2
2
3
2
0
2
2
2
2
2
2
0
y
a
1
y
a
a
4
q
y
a
1
y
1
y
a
q
4
1
F
−






−






πε
=






−
πε
=

Cara lain untuk menghitung gaya yang bekerja pada muatan titik q adalah dengan
menghitung gaya total yang bekerja pada permukaan bola.  Gaya pada masing-
masing elemen luas da adalah 2
πσ
2
da, dimana
σ adalah rapat muatan permukaan
sepeti yang telah dihitung diatas.
Secara simetri, hanya komponen yang sejajar dengan vektor radius dari pusat bola 
yang berkontribusi pada gaya total.
Gaya total pada bola:
2
2
2
3
2
0
2
2
2
2
2
2
0
2
y
a
1
y
a
a
4
q
.
..........
.
..........
cos
y
a
2
y
a
1
d
cos
y
a
1
y
a
4
q
F
−






−






πε
=






γ
−
+
Ω
γ






−






πε
=
∫

Atau dengan meninjau gambar dibawah ini (Reitz):
a
0
q
q’
1
r
r
P
2
r
b
d
θ
θ
−
+
=
θ
−
+
=
cos
rb
2
b
r
r
cos
rd
2
d
r
r
2
2
2
2
2
1
( )








θ
−
+
+
θ
−
+
πε
=
πε
+
πε
=
θ
φ
cos
rb
2
b
r
q
cos
rd
2
d
r
q
4
1
r
4
'
q
r
4
q
,
r
2
2
2
2
0
2
0
1
0
Potensial di titik P

Potensial di permukaan bola = 0, jika b = a
2
/d, sehingga:
θ
−
+
=
θ
−
+
cos
ab
2
b
a
a
d
cos
ad
2
d
a
2
2
2
2
Maka :
q
d
a
'
q
−
=

MUATAN GARIS DAN BAYANGANNYA
Pandang dua muatan garis yang sangat panjang dan sejajar, masing-masing
dengan rapat muatan panjang (muatan persatuan panjang) 
λ dan –λ  (lihat
gambar)
λ
−
λ
1
r
2
r
x
y
z
)
y
,
x
(
P
Potensial di sembarang titik diberikan oleh:
( )
(
)
2
1
0
2
1
0
0
r
r
ln
2
r
r
ln
2
r
ln
2
r
πε
λ
−
=
−
πε
λ
−
=
πε
λ
−
=
φ

Jika kita definisikan:
M
r
r
2
1
=
Dimana M adalah konstanta
Maka untuk M = 1, menunjukkan bahwa r
1
= r
2
dan potensialnya nol
(ekipotensial) yang merupakan bidang yang terletak di tengah-tengah kedua
muatan garis tersebut.
λ
−
λ
1
r
2
r
)
y
,
x
(
P
Permukaan ekipotensial I
d
d
Dengan demikian, maka muatan garis –
λ dapat merupakan muatan bayangan
dari muatan garis
λ.
x
y
z

Bagaimana dengan nilai M yang lain??
Secara umum, untuk memudahkan, maka diungkapkan dalam koordinat
Kartesian, dimana muatan garis
λ sebagai titik pusat 0, sehingga muatan
bayangan –
λ berada di posisi :
(
)
2
2
2
2
2
2
2
1
y
d
2
x
r
y
x
r
0
y
,
d
2
x
+
+
=
+
=
=
−
=
Maka :
[
]
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
M
1
d
M
4
M
1
xd
M
4
y
x
d
M
4
xd
M
4
M
1
y
M
1
x
y
d
4
xd
4
x
M
y
x
r
M
r
M
r
r
−
=
−
−
+
=
−
−
+
−
+
+
+
=
+
=
⇒
=
Persamaan silinder yang sejajar
dengan sumbu-z

(
)
)
1
....(
..........
..........
M
1
d
M
4
M
1
d
M
4
y
M
1
d
M
2
x
M
1
d
M
4
M
1
xd
M
4
y
x
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
−
+
−
=
+






−
−
−
=
−
−
+
Bentuk umum persamaan lingkaran:
(
) (
)
)
2
(
..........
..........
..........
..........
R
y
y
x
x
2
2
0
2
0
=
−
+
−
Perbandingan pers. (1) dan (2) memberikan:
0
y
dan
)
M
1
(
d
M
2
x
0
2
2
0
=
−
=
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
4
2
4
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
M
1
d
M
4
M
1
d
M
4
d
M
4
d
M
4
M
1
d
M
4
M
1
d
M
4
R
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
2
M
1
Md
2
R
−
=
Jari-jari silinder

λ
−
λ
1
r
2
r
)
y
,
x
(
P
Permukaan
ekipotensial I
d
d
Permukaan
ekipotensial II
Dengan demikian untuk M < 1 terdapat suatu silinder yang mengelilingi muatan
garis positif sebagai permukaan ekipotensial II (lihat gambar dibawah). Sumbu
silinder tersebut melewati titik:
0
y
,
)
M
1
(
d
M
2
x
2
2
=
−
=
dan jari-jari silinder :
2
M
1
Md
2
R
−
=

MEDAN LISTRIK STATIK 
DALAM BAHAN DIELEKTRIK

• Suatu bahan dielektrik ideal tidak memiliki muatan-muatan bebas.
• Semua bahan pada dasarnya terdiri dari molekul-molekul (inti atom dan
elektron-elektron).
• Molekul-molekul dalam bahan dielektrik dipengaruhi oleh kehadiran
medan listrik. Medan listrik akan menimbulkan gaya yang bekerja pada
partikel-partikel bermuatan.
• Muatan positif bergerak searah medan listrik dan muatan negatif
berlawanan arah dengan medan listrik sehingga terjadi pengkutuban
(polarisasi).
• Dielektrik yang terpolarisasi, walaupun netral secara rata-rata akan
menghasilkan medan listrik di dalam dan diluar bahan dielektrik.
• Polarisasi bergantung pada medan listrik total di dalam bahan dan medan
listrik yang dihasilkan oleh dielektrik itu sendiri.
• Medan listrik dari dielektrik akan merubah distribusi muatan sehingga
akan merubah pula medan listrik di dalam bahan dielektrik.

A. POLARISASI
Pandang suatu elemen volume kecil
∆v dari bahan dielektrik, dimana muatan
totalnya netral.
∆v
Bila bahan tersebut dipolarisasi,maka terjadi
pemisahan muatan-muatan positif dan negatif), 
sehingga terbentuk suatu dipol di dalam
elemen volume dengan momen dipol:
∫
∫
∆
∆
=
ρ
=
∆
v
v
dq
r
dv
r
p
r
r
r
Karena
adalah momen dipol di
∆v, maka harganya bergantung pada ∆v. 
Untuk memperoleh besaran yang tidak bergantung volume, maka didefinisikan
polarisasi listrik (polarisasi) dari suatu bahan sebagai:
pr
∆
]
m
/
C
[
v
p
P
2
∆
∆
=
r
r

Bila
∆v diasumsikan sangat kecil secara maroskopik, ia masih mengandung
banyak molekul, dimana setiap molekul yang memiliki momen dipol molekul:
∑
∑
∫
∆
=





=
∆
=
m
m
m
molekul
m
p
v
1
P
p
p
dq
r
p
r
r
r
r
r
r
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
- +
→
P
r
E
r
Polarisasi dalam bahan dielektrik. Masing-masing elemen volume membentuk
momen dipol
pr
∆

B. MEDAN LISTRIK DI LUAR BAHAN DIELEKTRIK
Pandang suatu bahan dielektrik yang terpolarisasi, yang dicirikan oleh polarisasi
di setiap titik
.  Kita akan menghitung medan listrik di titik
di luar
bahan dielektrik tersebut.
( )
'
r
P
,
r
'
r
r
P
r
rr
'
v
∆
rr
'
r
r r
r −
'
rr
0
Potensial akibat momen dipol di elemen
∆v:
(
)
(
)
'
v
P
p
;'
v
'
r
r
4
'
r
r
P
'
r
r
4
'
r
r
p
3
0
3
0
∆
=
∆
∆
−
πε
−
=
−
πε
−
∆
=
φ
∆
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r

Potensial pada titik
merupakan jumlah dari potensial akibat elemen volume:
rr
( )
( )(
)
'
dV
'
r
r
1
'
P
4
1
'
dV
'
r
r
'
r
r
'
r
P
4
1
r
0
V
0
0
V
3
0
∫
∫
−
∇
•
πε
=
−
−
πε
=
φ
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
V
0
= volume bahan dielektrik
'
r
r
1
'
'
r
r
1
'
r
r
'
r
r
3
r
r
r
r
r
r
r
r
r
−
∇
=
−
∇
−
=
−
−
Dari sifat operator Nabla:
α
∇
•
+
•
∇
α
=
α
•
∇
r
r
r
r
r
r
F
F
F
'
P
'
'
r
r
1
'
r
r
P
'
'
r
r
1
'
P
'
r
r
1
'
P
P
'
'
r
r
1
'
r
r
P
'
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
•
∇
−
−
−
•
∇
=
−
∇
•
−
∇
•
+
•
∇
−
=
−
•
∇

( )
'
dv
P
'
'
r
r
1
4
1
'
dv
'
r
r
P
'
4
1
r
0
V
0
0
V
0
r
r
r
r
r
r
r
r
r
•
∇
−
πε
−
−
•
∇
πε
=
φ
∫
∫
Teorema divergensi:
∫
∫
•
∇
=
•
S
V
dv
F
da
n
F
r
r
r
r
( )
(
)








−
•
∇
−
+
−
•
πε
=
φ
∫
∫
'
dv
'
r
r
P
'
'
da
'
r
r
n
P
4
1
r
0
V
0
S
0
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Dengan mendefinisikan :
n
P
P
p
p
r
r
r
r
•
=
σ
•
∇
−
=
ρ
= rapat muatan volume polarisasi
= rapat muatan permukaan polarisasi

( )
∫
∫
∫
−
πε
=








−
ρ
+
−
σ
πε
=
φ
'
r
r
'
dq
4
1
'
dv
'
r
r
'
da
'
r
r
4
1
r
p
0
p
0
V
p
0
S
0
r
r
r
r
r
r
r
Maka potensial listrik di luar bahan dielektrik:
Medan listrik di luar bahan dielektrik:
( )
(
)
(
)








−
−
ρ
+
−
−
σ
πε
=
∫
∫
'
dv
'
r
r
'
r
r
'
da
'
r
r
'
r
r
4
1
r
E
3
p
0
V
3
p
0
S
0
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Muatan total polarisasi dari bahan dielektrik:
(
)
∫
∫
•
+
•
∇
−
=
0
S
0
V
p
'
da
n
P
'
dv
P
'
Q
r
r
r
r