Listrik magnet I oleh: Dr rer nat. Ayi Bahtiar jurusan fisika fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam universitas padjadjaran bandung

Buktikan, sebagai latihan!!!!
HUKUM GAUSS
∫
∫
=
•
ε
=
•
S
S
0
0
da
nˆ
E
q
da
nˆ
E
r
r
Jika muatan q berada dalam permukaan S
Jika muatan q berada diluar permukaan S

Secara umum Hukum Gauss adalah:
∑
∫
=
ε
=
•
N
1
i
i
S
0
q
1
da
nˆ
E
r
Dimana q
i
adalah muatan-muatan titik yang 
dilingkupi oleh permukaan S
Jika S adalah suatu permukaan tertutup yang dilingkupi oleh volume V, maka
Hukum Gauss dapat dinyatakan oleh:
∫
∫
ρ
ε
=
•
V
S
0
dV
1
da
nˆ
E
r

Teorema Divergensi:
∫
∫
•
∇
=
•
V
S
dV
F
da
nˆ
F
r
r
r
Maka Hukum Gauss dalam bentuk diferensial:
∫
∫
∫
ρ
ε
=
•
∇
=
•
V
S
0
V
dV
1
dV
E
da
nˆ
E
r
r
r
0
E
ε
ρ
=
•
∇
r
r

Contoh Soal
1.
Hitung kuat medan listrik di titik r di sekitar suatu kawat lurus yang 
sangat panjang yang memiliki rapat muatan panjang
λ. 
2.
Hitung kuat medan listrik pada permukaan suatu konduktor yang 
memliki rapat muatan persatuan luas
σ.
Solusi:
1.
l
nˆ
nˆ
nˆ
r
E
r
Hukum Gauss:
r
2
E
r
2
.
E
d
1
da
nˆ
E
0
r
0
r
S
0
πε
λ
=
ε
λ
=
π
λ
ε
=
•
∫
∫
l
l
l
r

2.  Dalam konduktor, muatan listrik terdistribusi di permukaan konduktor, 
sehingga
ρ = 0 didalam konduktor.  Di luar konduktor medan listrik searah normal 
permukaan.
Ambil elemen permukaan dS dalam konduktor (lihat gambar).
dS
E
r
E = 0
nr
Hukum Gauss :
0
0
S
0
E
S
S
.
E
dS
1
dS
n
E
ε
σ
=
∆
ε
σ
=
∆
σ
ε
=
•
∫
∫
r
r

POTENSIAL LISTRIK

Bila Curl dari suatu vektor sama dengan nol, maka vektor tersebut bisa dinyatakan
sebagai gradien dari suatu skalar.
( )
0
x
0
A
x
=
φ
∇
∇
=
∇
r
r
r
r
= vektor dan
φ
adalah skalar
A
r
Gaya Coulomb dan medan listrik dinyatakan :
( )
( )






−
∇
πε
−
=








−
−
πε
=








−
−
πε
=
'
r
r
1
'
q
4
1
'
r
r
'
r
r
'
q
4
1
r
E
'
r
r
'
r
r
'
qq
4
1
r
F
0
3
0
3
0
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
0
'
r
r
1
'
q
4
1
x
0
E
x
0
=














−
∇
πε
∇
=
∇
r
r
r
r
r
r

( )
( )
( )
( )
r
r
E
'
r
r
1
'
q
4
1
r
0
x
0
r
r
r
r
r
r
r
r
r
φ
∇
−
=






−
πε
=
φ
=
φ
∇
∇
Ingat:
Potensial listrik statik akibat suatu muatan titik q’:
Potensial listrik akibat muatan-muatan titik dan distribusi muatan:
( )
( )
( )
'
da
'
r
r
'
r
4
1
'
dv
'
r
r
'
r
4
1
r
r
q
4
1
r
S
0
V
0
i
i
N
1
i
0
∫
∫
∑
−
σ
πε
+
−
ρ
πε
+
−
πε
=
φ
=
r
r
r
r
r
r
r
r
r

Pembuktian dengan cara lain:
( )
0
'
r
r
'
r
r
x
'
q
4
1
E
x
'
r
r
'
r
r
'
q
4
1
r
E
3
0
3
0
=








−
−
∇
πε
=
∇








−
−
πε
=
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
(
)
(
)
'
r
r
x
'
r
r
1
'
r
r
x
'
r
r
1
'
r
r
'
r
r
x
3
3
3
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
−








−
∇
+
−
∇
−
=








−
−
∇
(
)
(
)
0
'
r
r
x
'
r
r
1
'
r
r
'
r
r
3
'
r
r
1
0
'
r
r
x
3
5
3
=
−








−
∇
−
−
−
=
−
∇
=
−
∇
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Karena perkalian silang
vektor yang sejajar
adalah nol

Maka jika medan listrik E diketahui, potensial listrik dapat ditulis sebagai:
( )
∫
•
−
=
φ
r
ref
d
E
r
l
r
r
r
Energi potensial di titik r relatif terhadap titik acuan (referensi):
( )
( )
'
r
d
'
r
F
r
U
r
ref
r
r
r
r
•
−
=
∫

1. Hitung potensial listrik di titik r di sekitar suatu kawat lurus yang sangat
panjang yang memiliki rapat muatan panjang
λ. 
Contoh soal
Solusi :
Medan listrik di sembarang titik sejauh r dari kawat lurus yang sangat panjang :
( )
C
r
ln
2
dr
r
2
r
d
E
r
r
r
2
r
2
E
0
0
2
0
0
+
πε
λ
=
πε
λ
−
=
•
−
=
φ
πε
λ
=
πε
λ
=
∫
∫
r
r
r
r
C = konstanta integrasi (ditentukan oleh syarat batas)

DIPOL DAN MULTIPOL 
LISTRIK

Jika dua buah muatan yang sama besarnya tapi berlainan jenis terpisah oleh jarak
yang kecil akan membentuk suatu dipol listrik.
Pandang dua muatan -q di posisi r’ dan +q’ di posisi r’+l, maka medan listrik di
titik r :
0
'
rr
l
r
r +'
r
l
r
rr
'
r
r r
r −
+q
-q
( )








−
−
−
−
−
−
−
πε
=
−
−
πε
=
∑
=
3
3
0
3
i
i
N
1
i
i
0
'
r
r
'
r
r
'
r
r
'
r
r
4
q
r
r
r
r
q
4
1
r
E
r
r
r
r
l
r
r
r
l
r
r
r
r
r
r
r
r
r
1. DIPOL LISTRIK

(
)
(
)
[
]
(
)
2
/
3
2
2
3
2
/
3
2
2
3
'
r
r
'
r
r
'
r
r
2
1
'
r
r
'
r
r
2
'
r
r
'
r
r
−
−
−
−








−
+
−
•
−
−
−
=
+
•
−
−
−
=
−
−
r
r
l
r
r
r
l
r
r
r
r
r
l
r
l
r
r
r
r
r
l
r
r
r
Dengan menggunakan deret binomial, dimana hanya bagian liniernya saja yang 
diambil, maka:
(
)








+
−
•
−
+
−
=
−
−
−
−
.....
'
r
r
'
r
r
3
1
'
r
r
'
r
r
2
3
3
r
r
l
r
r
r
r
r
l
r
r
r
Maka medan listrik di titik r akibat oleh dipol listrik menjadi:
( )
(
) ( )








+
−
−
−
−
•
−
πε
=
...
'
r
r
'
r
r
'
r
r
'
r
r
3
4
q
r
E
3
5
0
r
r
l
r
r
r
r
r
l
r
r
r
r
r

( )
(
) ( )








+
−
−
−
−
•
−
πε
=
...
'
r
r
'
r
r
'
r
r
'
r
r
3
4
q
r
E
3
5
0
r
r
l
r
r
r
r
r
l
r
r
r
r
r
Jika jarak antara kedua muatan titik sangat kecil (limit l mendekati nol) dan tidak
ada medan listrik, kecuali muatan-muatan titik tadi tak hingga.
Dalam kasus ini, maka ql menjadi konstan, sehingga dikatakan dipol titik. Suatu
dipol dikarakteristik oleh momem dipol listrik:
l
r
l
r
r
l
r
q
q
lim
p
0
=
=
→
Maka medan listrik dapat dinyatakan:
( )
(
) ( )








−
−
−
−
•
−
πε
=
3
5
0
'
r
r
p
'
r
r
'
r
r
p
'
r
r
3
4
1
r
E
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r

Distribusi potensial yang dihasilkan oleh dipol listrik:
( )
( )
(
)
3
0
0
'
r
r
'
r
r
4
q
r
.....
'
r
r
1
'
r
r
1
4
q
r
r
r
l
r
r
r
r
r
r
l
r
r
r
r
−
•
−
πε
=
φ








−
−
−
−
πε
=
φ
Untuk dipol titik:
( )
(
)
3
0
'
r
r
'
r
r
p
4
1
r
r
r
r
r
r
r
−
−
•
πε
=
φ

Jika dua muatan -q di posisi r dan +q di posisi r+l, diletakkan di dalam suatu
medan listrik luar (dimana medan listrik digambarkan oleh potensial
maka energi potensial:
( )
r
ext
r
φ
( )
( )
l
r
r
r
+
φ
+
φ
−
=
r
q
r
q
U
ext
ext
Jika:
rr
l
r
<<
( )
( )
( )
r
r
r
ext
ext
ext
r
r
l
r
r
l
r
r
φ
∇
•
+
φ
=
+
φ
maka
titik
dipol
untuk
p
q
U
ext
ext
φ
∇
•
=
φ
∇
•
=
r
r
r
l
r
Karena medan listrik adalah negatif gradien dari potensial listrik, 
maka:
( )
( )
r
r
E
r
r
r
r
φ
∇
−
=
( )
( )
r
E
p
r
U
ext
r
r
r
•
−
=

2. MULTIPOL LISTRIK
Jika terdiri dari banyak muatan titik, maka untuk mengurangi jumlah koordinat titik
digunakan suatu distribusi muatan.
Pandang suatu titik sembarang didalam distibusi muatan yang berjarak r’ dengan
rapat muatan pada titik tersebut
ρ(r’) dan suatu titik tinjau r yang berada jauh dari
distribusi muatan tadi.
0
dv’
'
rr
V
titik tinjau
rr
Potensial di titik r :
( )
( )
'
dv
r
r
'
r
4
1
r
V
0
∫
−
ρ
πε
=
φ
r
r
r
r
'
r
r r
r −

Karena
'
r
r
r
r >>
(
)








+






+
•
−
+






+
•
−
−
=
+
•
−
=
−
−
−
...
r
'
r
r
'
r
r
2
2
3
2
1
2
1
r
'
r
r
'
r
r
2
2
1
1
r
1
'
r
'
r
r
2
r
'
r
r
2
2
2
2
2
2
2
2
/
1
2
2
1
r
r
r
r
r
r
r
r
( )
(
)
( )
'
dv
'
r
...
r
'
r
r
'
r
r
3
2
1
r
'
r
r
r
1
4
1
r
3
2
5
2
3
V
0
r
r
r
r
r
r
ρ








+






−
•
+
•
+
πε
=
φ
∫
Maka:
Karena r tidak terlibat dalam integrasi, maka variabel r dapat disimpan diluar.
( )
( )
( )
(
)
( )








ρ
δ
−
+
ρ
+
ρ
πε
=
φ
∫
∑∑
∫
∫
=
=
'
dv
'
r
'
r
'
x
'
x
3
r
x
x
2
1
'
dv
'
r
'
r
r
r
'
dv
'
r
r
1
4
1
r
V
2
ij
j
i
5
j
i
3
1
i
3
1
j
V
3
V
0
r
r
r
r
r
r
x
i
, x
j
adalah komponen kartesian dari r dan x
i
’, x
j
’ adalah komponen Kartesian dari r’



=
≠
=
δ
j
i
,
1
j
i
,
0
ij

( )
( )
( )
(
)
( )








ρ
δ
−
+
ρ
+
ρ
πε
=
φ
∫
∑∑
∫
∫
=
=
'
dv
'
r
'
r
'
x
'
x
3
r
x
x
2
1
'
dv
'
r
'
r
r
r
'
dv
'
r
r
1
4
1
r
V
2
ij
j
i
5
j
i
3
1
i
3
1
j
V
3
V
0
r
r
r
r
r
r
Potensial dari muatan
total
Potensial dari momen dipol
distribusi muatan
Potensial dari momen
tensor kuadropol
Jika posisi r berada jauh dari distribusi muatan dimana
ρ berada, maka:
( )




+
•
+
πε
=
φ
...
r
r
p
r
Q
4
1
r
3
0
r
r
r
Dimana Q = muatan total didalam distribusi muatan
p = momen dipol dari distribusi muatan
( )
'
dv
'
r
'
r
p
V
r
r
r
ρ
=
∫

FUNGSI DELTA DIRAC
Fungsi delta-dirac merupakan ekspresi matematik dari suatu fungsi pada titik r = 0
( )
( )
( )
( )
1
'
dv
'
r
0
r
untuk
0
r
r
q
r
=
δ
≠
=
δ
δ
=
ρ
∫
r
r
r
r
r
( ) ( )
( ) (
)
)
r
(
F
'
dv
r
'
r
'
r
F
)
0
(
F
'
dv
'
r
'
r
F
0
0
r
r
r
r
r
r
=
−
δ
=
δ
∫
∫
F adalah fungsi skalar atau fungsi vektor
Maka jika
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)( )
(
)
i
3
i
i
0
3
i
i
0
i
i
0
i
i
0
i
i
r
r
r
r
q
4
1
'
dv
'
r
r
'
r
r
r
'
r
q
4
1
r
E
r
r
q
4
1
'
dv
'
r
r
r
'
r
q
4
1
r
r
'
r
q
'
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
v
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
−
−
πε
=
−
−
−
δ
πε
=
−
πε
=
−
−
δ
πε
=
φ
−
δ
=
ρ
∫
∫
Untuk suatu muatan titik q
i
para posisi r
i

Dengan demikian Hukum Gauss:
ρ
ε
=
•
∇
0
1
E
r
r
Untuk suatu muatan titik q pada r = 0, menjadi:
( )
( )
r
4
r
r
atau
r
q
1
r
r
4
q
3
0
3
0
r
r
r
r
r
r
πδ
=
•
∇
δ
ε
=
πε
•
∇
Karena:
3
r
r
r
1
dr
d
r
r
r
1
r
r
r
−
=






=






∇
maka:
( )
r
4
r
1
r
1
2
r
r
r
πδ
−
=






∇
•
∇
=






∇

PERSOALAN-PERSOALAN 
DARI LISTRIK STATIK

Pada dasarnya untuk menghitung potensial dan medan listrik dapat dilakukan
langsung dengan menghitung integral dari distribusi muatan
ρ(r’) melalui:
( )
( )
( )
(
) ( )
(
)
∫
∫
∫
∫
−
−
πε
=
ρ
−
−
πε
=
−
πε
=
−
ρ
πε
=
φ
3
0
3
0
0
0
'
r
r
'
dq
'
r
r
4
1
'
dr
'
r
'
r
r
'
r
r
4
1
r
E
'
r
r
'
dq
4
1
'
dr
'
r
r
'
r
4
1
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Namun dalam kenyataannya seringkali distribusi muatan tidak diketahui, 
sehingga pertama harus ditentukan dulu medan listrik, baru kemudian distribusi
muatan.