Логика булевых функций

ТЕМА 3. ФОРМАЛЬНЫЕ АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ

(ИСЧИСЛЕНИЯ)


3.1. Принципы построения формальных теорий

Формальная аксиоматическая теория считается заданной, если заданы:

1. Символы. Задано некоторое счетное множество символов теории.
2. Формулы. Определено некоторое множество формул, или правильно построенных выражений. Формулы задают язык теории.
2. Аксиомы. Выделяется множество формул, называемых аксиомами теории. Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.
4. Правила вывода. Задаются правила вывода как некоторые отношения на множестве формул. Если формулы A₁, A₂, …, A_k, B находятся в отношении R, то формула B называется непосредственно выводимой из A₁, A₂, …, A_k по правилу R. Это часто записывается следующим образом: .
Выводом формулы B из множества формул Г = {A₁, A₂, …, A_n} называется последовательность формул B₁, B₂, …, B_m , такая, что B_m есть B, и для любого i, i = 1, 2, …, m, B_i – либо аксиома, либо формула из Г, либо непосредственно выводима из предыдущих формул. B₁, B₂, …, B_{i – 1}. Это обозначается так: Г ├ B (B есть следствие Г) или A₁, A₂, …, A_n ├ B. Формулы A₁, A₂, …, A_n называются допущениями или гипотезами, про формулу B говорят, что она выводима из A₁, A₂, …, A_n.
Если Г – пустое множество, то A – теорема, а ее вывод называется доказательством. В этом случае пишут ├ A.
Во всякой формальной теории существуют три проблемы, связанные с системой аксиом:
1) проблема непротиворечивости;
2) проблема независимости;
3) проблема полноты.
Для того, чтобы доказать, что система аксиом непротиворечива, необходимо и достаточно доказать, что какова бы ни была формула F, выводимая в рассматриваемой теории, формула ¬F не является выводимой в этой теории.
Доказательство независимости системы аксиом состоит в доказательстве невыводимости никакой из аксиом системы из других аксиом.
Проблема полноты состоит в доказательстве следующего факта. Какова бы ни была аксиома, не содержащаяся среди аксиом данной теории, добавление ее к исходной системе приводит к тому, что расширенная система аксиом становится противоречивой.