Логика булевых функций

2.5. Интерпретация формулы логики предикатов в виде суждения.
Выполнимость. общезначимость

Формула есть перевод содержательного рассуждения в формальное рассуждение. Формула имеет смысл только тогда, когда имеется какая-нибудь интерпретация входящих в нее символов. Каждая интерпретация состоит в указании множества М изменения предметных переменных и задании отношения между переменными с помощью предикатов.

Для данной интерпретации формула представляет собой высказывание, если переменные связаны кванторами, а если есть свободные переменные, то формула есть предикат, который может быть истинным для одних значений переменных из области интерпретации и ложным для других.
Пример 2.22.
Пусть М – множество целых положительных чисел, и дан предикат A(x, y) = “x y”.
Рассмотрим следующие формулы:
1)A(x, y);
2) yA(x, y);
3) xyA(x, y).
Первая формула – это предикат, который является истинным высказыванием для всех пар целых положительных чисел (a, b), таких, что a b.
Вторая формула – предикат “Для всякого целого положительного числа y имеет место x y”, который является истинным только для x = 1.
Третья формула – высказывание “Существует такое x, что для всякого y имеет место x y”. Оно является истинным и соответствует тому, что на множестве М есть наименьшее число (единица).
Пусть задаио множество M изменения предметных переменных формулы A(x₁, x₂, ... , x_n), т. е. (x₁, x₂, ... , x_n) M.
Определение 2.7. Формула A называется выполнимой в данной интерпретации, если существует набор значений переменных (a₁, a₂, ... , a_n) M, для которого A(a₁, a₂, ... , a_n) = И.