Логика булевых функций

Теорема 3.1. Аксиомы исчисления предикатов – общезначимые формулы.
Теорема 3.2. Любая выводимая в исчислении предикатов формула является общезначимой.
Пример 3.5.
Обосновать правильность рассуждения, построив вывод.
а) Всякое нечетное натуральное число является разностью квадратов двух натуральных чисел. 5 – натуральное число. Следовательно, 5 – разность квадратов двух натуральных чисел
Пусть M – множество натуральных чисел. Введем предикаты:
A(x) = “x – нечетное число”.
B(x) – “x – разность квадратов двух чисел”.
Требуется построить вывод:
x(A(x)  B(x)), A(5) ├ B(5).
Построим вывод.

1. 
   x(A(x)  B(x)) – гипотеза;
   
2. 
   A(5) – гипотеза;
   
3. 
   A(5)  B(5) – из (1) и удаления ;
   
4. 
   B (5) – из (2) и (3) по m. p.
   

б) Все словари полезны. Все полезные книги высоко ценятся. Следовательно, все словари высоко ценятся.
Сначала формализуем наше рассуждение, введя следующие предикаты:
A(x) = “x – словарь”.
B(x) = “x – полезен”.
C(x) = “x высоко ценится”.
Требуется построить следующий вывод:
x(A(x)  B(x)), x(B(x)  C(x)) ├ x(A(x)  C(x)).
Построим этот вывод.

1. 
   x(A(x)  B(x)) – гипотеза;
   
2. 
   x(B(x)  C(x))гипотеза;
   
3. 
   A(y)  B(y) – из (1) и удаления ;
   
4. 
   B(y)  C(y) – из (2) и удаления ;
   
5. 
   A(y)  C(y) – из (3) и (4) по правилу силлогизма;
   
6. 
   x(A(x)  C(x)) – из (5) и введения .
   

в) Всякий совершеннолетний человек, находящийся в здравом уме, допускается к голосованию. Джон не допущен к голосованию. Значит, он либо несовершеннолетний, либо не находится в здравом уме.
Формализуем наше рассуждение, введя следующие предикаты:
A(x) = “x – совершеннолетний”.
B(x) = “x находится в здравом уме”.
C(x) = “x допущен к голосованию”.
Введем константу d, обозначающую имя "Джон".
Требуется построить следующий вывод:
x(A(x)&B(x)  C(x)), C(d)) ├ A(d)  B(d).
Построим этот вывод.
(1) x(A(x)&B(x)  C(x)) гипотеза;
(2) C(d))гипотеза;
(3) A(d)&B(d)  C(d)  из (1) и удаления ;
(4) C(d)) (A(d)&B(d)) – из (3) и правила контрапозиции;
(5) C(d)) A(d)  B(d) – из (4) и отрицания конъюнкции;

7. 
   A(d)  B(d) – из (2) и (5) по m. p.
   
8.