Loyiha ishi Menelay,Braxmagupta,Cheva va Ptolomey teoremalari

Menelay teoremasi

Menelaus teoremasi, Iskandariyalik Menelaus nomi bilan atalgan, tekis geometriyadagi uchburchaklar haqidagi teorema hisoblanadi. Faraz qilaylik, bizda ABC uchburchagi va mos ravishda D, E va F nuqtalarda BC, AC va AB nuqtalarini kesib o‘tuvchi, D, E va F nuqtalari A, B va C dan farq qiladigan ko‘ndalang chiziq bor. Segmentlarning belgili uzunliklaridan foydalanish (AB uzunligi A ning B ning chap yoki o'ng tomonida bo'lishiga qarab musbat yoki manfiy deb qabul qilinadi; masalan, AF/FB, F A va B oralig'ida bo'lganda musbat qiymatga ega deb aniqlanadi, aks holda salbiy hisoblanadi), teorema ta'kidlaydi:

Yoki ekvivalent:

Ba'zi mualliflar omillarni boshqacha tartibga soladilar va ko'rinadigan darajada boshqacha munosabatga ega bo'lishadi:

lekin bu omillarning har biri yuqoridagi tegishli omilning salbiy tomoni bo'lganligi sababli, munosabatlar bir xil bo'ladi.

Menelay teoremasi

• Buning aksi ham to'g'ri: D, E va F nuqtalari mos ravishda BC, AC va AB nuqtalarida tanlansa, shunday qilib:

u holda D, E va F kollineardir. Qarama-qarshilik ko'pincha teoremaning bir qismi sifatida kiritiladi.

Menelay va Cheva teoremalarining o’xshashligi:

• Teorema Cheva teoremasiga juda o'xshaydi, chunki ularning tenglamalari faqat ishora bilan farqlanadi.

Isbot

• Standart isbot quyidagicha:
• Birinchidan, chap tomonning belgisi manfiy bo'ladi, chunki nisbatlarning uchtasi ham manfiy, DEF chizig'i uchburchakni o'tkazib yuborgan holatda (pastki diagramma) yoki biri manfiy, qolgan ikkitasi ijobiy bo'lsa, vaziyat bu erda DEF uchburchakning ikki tomonini kesib o'tadi.
• Kattalikni tekshirish uchun A, B va C nuqtalardan DEF chizig'iga perpendikulyarlarni yasang va ularning uzunligi mos ravishda a, b va c bo'lsin. Keyin shunga o'xshash uchburchaklar orqali |AF/FB| = |a/b|, |BD/DC| = |b/c| va |CE/EA| = |c/a|.
• Shunday qilib:
• Kattalikni tekshirishning oddiyroq, agar kamroq nosimmetrik yo‘l bo‘lsa, CK ni AB ga parallel ravishda chizing, bu yerda DEF K da CK bilan to‘qnashadi. Keyin o‘xshash uchburchaklar yordamida:

• va natija bu tenglamalardan CKni yo'q qilish orqali keladi.
• Buning teskarisi xulosa sifatida keladi. BC, AC va AB to‘g‘rilarda D, E va F tenglama bajarilsin. DE AB ni kesib o'tadigan nuqta F' bo'lsin. U holda teorema bo'yicha tenglama D, E va F' uchun ham amal qiladi. Ikkisini solishtirib:
• Lekin ko'pi bilan bitta nuqta segmentni ma'lum nisbatda kesishi mumkin, shuning uchun F=F'.